mats

UNITAT 2

Equacions i sistemes d’equacions lineals

UNITAT
2 Equacions i sistemes
d’equacions lineals

Gravat del 1643 que representa els Jardins Penjants de Semíramis a Babilònia.

36

Equacions i sistemes d’equacions lineals

UNITAT 2

Índex

Introducció

Introducció

Els egipcis i els babilonis ja resolien problemes com el següent:
Una longitud més una amplada fa 10mans, i la longitud més un quart de l’amplada és igual a 7 mans.
La manera de resoldre un problema aplicant com a eina
l’àlgebra consisteix a suposar que en coneixem els resultats,
als quals posem un nom. Per abreujar l’escriptura, el nombre
de cada valor el representem amb una sola lletra, x, y, z...
Aquests nombres els anomenem incògnites. Amb les incògnites, escrivim les condicions que han decomplir segons
l’enunciat del problema, i després utilitzem diferents procediments per trobar-ne el valor.
Per al nostre problema hauríem d’escriure:
x: mesura de la longitud.
y: mesura de l’amplada.
El sistema d’equacions que en resulta és:
x + y = 10
x + y/4 = 7
Els procediments que tenim per resoldre aquest sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites són:
a) Substitució.
b)Igualació.
c) Reducció.
d) Gràfic.
La solució del sistema dels egipcis i els babilonis que hem
plantejat és:
y = 6 mans
x = 4 mans
Volem recordar que la nostra escriptura no s’assembla
gens a la que utilitzaven els egipcis ni a la dels babilonis, ja
que la representació del valor d’una incògnita per una lletra
i els símbols algebraics més (+) i igual (=) és posterior a
l’any 1600.
Unaltre detall a tenir en compte és que la unitat de mesura no era el metre. Les reunions internacionals per a la unificació de les unitats de mesura tenen lloc pels volts de l’any
1800 a París, i el 1875 es constitueix l’Oficina Internacional de Pesos i Mesures.
Avui, per resoldre els sistemes lineals d’equacions, podem
utilitzar els ordinadors que, proveïts d’un programa de càlcul simbòlic comel DERIVE, ens pregunten quantes equacions té el sistema, les introduïm i en dècimes de segon ens el
resolen, independentment de la quantitat d’equacions i d’incògnites que hi hagi.

1. Equacions i sistemes d’equacions
Experimenta
Pàgina
1.1. Equacions lineals d’una incògnita 38
1.2. Equacions amb dues incògnites
39
1.3. Sistemes d’equacions lineals
40
1.4. Resolució gràfica de sistemeslineals de dues equacions amb
dues incògnites
41
1.5. Classificació de sistemes
41
Resol
2. Resolució algèbrica de sistemes
lineals
Experimenta
2.1. Mètode de reducció
2.2. Mètode de substitució
2.3. Mètode d’igualació
2.4. Resolució d’un sistema lineal de
tres equacions amb tres incògnites
Resol

43
44
44

45

3. Resolució de problemes
Experimenta
3.1. Estratègia deresolució de problemes
Resol

47

Arbre de continguts, Notacions. Evitem
errors. Repassem. Problemes. Càlcul mental. Calculadora. Curiositats. Taller d’investigació: Informàtica: Derive.

F

37

UNITAT 2

Equacions i sistemes d’equacions lineals

1. Equacions i sistemes d’equacions
Experimenta
1. En un garatge hi ha cotxes i motos, i sabem que el nombre de rodes és 24. Anomena x alnombre de
cotxes i y al nombre de motos i contesta:
a) Escriu una equació que representi el nombre de rodes en funció del nombre de cotxes i de motos.
Simplifica l’equació obtinguda, aïlla la incògnita que representa el nombre de motos i fes una taula
de valors amb totes les solucions possibles. Representa les solucions en uns eixos de coordenades.
b) El nombre de vehicles del garatge, és adir, cotxes més motos és 9. Escriu una equació que representi aquesta situació. Aïlla la incògnita que representa el nombre de motos i fes una taula de valors
amb totes les solucions possibles. Representa-les als eixos de coordenades.
c) Quants cotxes i motos hi ha al garatge?
d) Comprova’n el resultat.

1.1. Equacions lineals d’una incògnita
Una equació lineal d’una incògnita correspon a...