maximos
8
Aplicaciones de la derivada
1
8.2 Máximos y mínimos locales
Si f .x0 /
f .x/ para cada x cerca de x0 , es decir, en un intervalo abierto que contenga a x0 ,
diremos que falcanza un máximo local o un máximo relativo en x0 .
y
y
Máximo local
Máximo local
f .x0 /
¡
f .x0 /
y D f .x/
x0
y D f .x/
x
x0
x
Si f .x0 / Ä f .x/ para cada xcerca de x0 , es decir, en un intervalo abierto que contenga a x0 ,
diremos que f alcanza un mínimo local o un mínimo relativo en x0 .
1
canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008
1
2
CálculoDiferencial e Integral I
y
y
y D f .x/
y D f .x/
¢
f .x0 /
f .x0 /
£
Mínimo local
Mínimo local
x
x0
x0
x
Si f .x0 / > f .x/ para cada x cerca de x0 , entonces el máximolocal es estricto.
Si f .x0 / < f .x/ para cada x cerca de x0 , entonces el mínimo local es estricto.
A un máximo y a un mínimo local se les llaman valores extremos.
y
Máximo local estricto
y Df .x/
x0
x1
x
Mínimo local estricto
Si f es continua en un intervalo que contiene a x0 y si f 0 cambia de signo en x0 , es decir, si en un
intervalo de la forma .x1 ; x0 / f 0 tiene unsigno y en .x0 ; x2 / el otro, entonces en x0 hay un valor
extremo, de hecho:
Si f 0 pasa de positiva a negativa, hay un máximo local estricto. Es claro pues la función pasa
de ser creciente a serdecreciente.
Si f 0 pasa de negativa a positiva, hay un mínimo local estricto. Es claro pues la función pasa
de ser decreciente a ser creciente.
Si no cambia de signo la derivada, entonces lafunción no tiene valor extremo.
Ejemplo 8.2.1 La función f .x/ D j x j es continua en R , pero no derivable en x D 0.
2
8.2 Máximos y mínimos locales
H También
f .x/ D j x j D
3
si x < 0
) f0 .x/ D
si x 0
x
x
si x < 0
) 0 es un mínimo estricto.
si x > 0
1
1
f 0 .x/
f .x/
f .x/ decreciente
f .x/ creciente
f 0 .x/ > 0
§¨
1
x
x
¤
Mínimo local...
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