Mecanica de fluidos

´ ´ IMPLEMENTACION DE LOS METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS Y ELEMENTOS FINITOS Curso 2000–2001 Pr´cticas a Hoja 1. La ecuaci´n de Poisson en dimensi´n 1 o o
1 Consideremos el siguiente problema con condiciones de contorno de tipo Dirichlet −u (x) + c(x)u(x) = f (x), u(a) = α, u(b) = β donde c(x) ≥ 0, x ∈ (a, b). a) Aproximar la soluci´n del problema anterior mediante un programa MATLAB queimplemente el m´todo o e de diferencias finitas (utilizando diferencias centradas para la derivada segunda). b) En el caso particular en que a = 0, b = 1, u(0) = 1, u(1) = la soluci´n exacta del problema de contorno (1) es o u(x) = e−x . Para diversos valores del n´mero de puntos de la partici´n, u o 1) comparar los valores obtenidos con el valor de la soluci´n exacta en los nodos de la partici´n. o o 2)hallar el error cometido en norma infinito. 3) dibujar la soluci´n exacta y los valores aproximados obtenidos. o Soluci´n. o % % % % % % % Ecuacion de Poisson en dimension uno. Este programa sirve para resolver la ecuacion -u’’(x)+c(x)u(x)=f(x) en (a,b) con condiciones de contorno de tipo Dirichlet u(a)=alfa y u(b)=beta. La funciones c(x) y f(x) tienen que estar definidas previamente en losficheros c.m y f.m respectivamente. numero de puntos interiores ’); extremo izquierdo del intervalo ’); el valor de la solucion en dicho extremo ’); extremo derecho del intervalo ’); el valor de la solucion en dicho extremo ’ );
2 2 1 , c(x) = 4x2 y f (x) = 2e−x e

a 0 (κ > 0) a≤x≤b t ≥ 0.

(4)

lim u(x, t), a ≤ x ≤ b.

b) Resolver, mediante el m´todo de Crank–Nicolson, el problema (4) en elcaso particular en que a = 0, b = 1 e y κ = 2 para las temperaturas iniciales: 1) f (x) = cos πx. 2) f (x) = 2x3 − 3x2 + 2.

´ ´ IMPLEMENTACION DE LOS METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS Y ELEMENTOS FINITOS Curso 2000–2001 Pr´cticas a Hoja 3. Las ecuaciones de Poisson y del calor en dimensi´n 2 o
1 Consideremos el siguiente problema de contorno   −∆u(x, y) = −(x2 + y 2 ),   u(x, 0) = 2x,     x2 + 1 + 3x, u(x, 1) = 2   u(0, y) = y,    2    u(1, y) = y + 2(1 + y), 2 cuya soluci´n es o u(x, y) = a) Escribir un programa que sirva para: 1) Aproximar dicha soluci´n mediante el m´todo de Jacobi considerando el mismo n´mero de puntos o e u interiores n tanto en el eje de abscisas como en el de ordenadas y tomando como precisi´n en el test de parada o de las iteraciones el valor de h2, siendo 1 h= . n+1 2) Determinar el error en norma infinito cometido. 3) Dibujar la gr´fica de la soluci´n aproximada obtenida (utilizar el comando surf de MATLAB). a o b) Idem para el m´todo de Gauss–Seidel. e c) Comparar el n´mero de iteraciones necesarias en cada uno de los dos m´todos cuando se toma el mismo u e valor de h. 2 Aplicar un tratamiento an´logo al efectuado en el Problema 1 alsiguiente problema de contorno a   −∆u(x, y) = 2π 2 cos πx sen πy, 1 < x < 2, 0 < y < 3    u(x, 0) = 0, 1≤x≤2  u(x, 3) = 0, 1≤x≤2   u(1, y) = − sen πy, 0≤y≤3    0≤y≤3 ux (2, y) = 0, cuya soluci´n es o u(x, y) = cos πx sen πy. 3 Aplicar el m´todo de Crank–Nicolson para resolver el problema e   ut (x, y, t) − ∆xy u(x, y, t) = 2yt(x2 − t), 0 < x < 10,    u(x, y, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 10,   u(0, y, t) = 0, 0 ≤ y ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10,  u(10, y, t) = 100yt2 ,    u(x, 0, t) = 0, 0 ≤ x ≤ 10,    0 ≤ x ≤ 10, u(x, 10, t) = 10x2 t2 ,

0 < x < 1, 0 < y < 1 0≤x≤1 0≤x≤1 0≤y≤1 0≤y≤1

x2 y 2 + xy + 2x + y. 2

0 < y < 10, 0 < t < 1 0 ≤ y ≤ 10 0≤t≤1 0≤t≤1 0≤t≤1 0≤t≤1

mediante los m´todos de Jacobi y Gauss–Seidel, sabiendo que la soluci´n exacta es e o u(x, y, t) = x2 yt2 .

´ ´IMPLEMENTACION DE LOS METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS Y ELEMENTOS FINITOS Curso 2000–2001 Pr´cticas a Hoja 4. Uso b´sico de la herramienta pdetool de MATLAB a
Utilizar la herramienta pdetool para resolver, mediante el M´todo de los Elementos Finitos, los siguientes e problemas en los dominios correspondientes. Hacer, en los casos en los que se conoce la soluci´n exacta, un o estudio del error...