Mecanica de materiales

1.1 TRANSFORMACION DE ESFUEZO EN PROBLEMAS BIDIMENSIONALES
En esta sección obtendremos ecuaciones en forma algebraica para los esfuerzos normales y cortantes que actúan en un plano inclinado. Tales expresiones se llaman ecuaciones de transformación de esfuerzos. Estas ecuaciones se basan en los esfuerzos inicialmente dados que actúan sobre un elemento de orientación conocida y en el plano que seestá investigando, definido por una normal a él. Las ecuaciones se desarrollaron considerando un elemento de espesor unitario en un estado de esfuerzos bidimensional xy, que será transformado a los ejes x´y´.
En este curso se utilizará la siguiente convención de signos:
σx, σy son de tracción→son positivos
σx, σy son de compresión→son negativos
τ se define como positivo si apunta hacia abajoen la cara derecha DE del elemento
El ángulo θ cuando se mide desde el eje x en sentido antihorario se considera positivo.
La siguiente figura representa el estado de esfuerzos inicial de esfuerzos y las convenciones de signos adoptadas en este apunte. El plano donde se quiere obtener los esfuerzos normal y cortante es CB, para analizar los esfuerzos en el plano inclinado se aísla la cuñainfinitesimal ABC.

Estado de esfuerzos original. Se ilustra además el sentido de esfuerzos positivos

D
x
τxy
y
x
E
τyx
B
A
y
τxy
C
τyx
y
y´
x
x´

En la siguiente figura se muestran los esfuerzos asociados a la separación de la cuña ABC respecto de la figura inicial (recuerde el método de las secciones)

x´
y´
x´
y´
A
B
C
y
τyx
τxy
x

Cuña ABC aislada de la figurainicial. Se considera que el área generada por el lasdo BC de esta cuña es dA.

Ahora vamos a obtener las fuerzas en las caras de la cuña asociados a los esfuerzos a la que está sometida.


´
x´
y´
A
B
C

Fuerzas que actúan n la cuña ABC








El siguiente paso consiste en aplicar las leyes de la estática en el eje y´ y x´ con el fin de conocer los esfuerzos queactúan en la cara BC de la cuña:
Fx´=σx´∙dA-σx∙dA∙cosθ∙cosθ+τxy∙dA∙cos θ∙sen θ-σy∙dA∙sen θ∙sen θ+τyx∙dA∙sen θ∙cosθ=0
Desarrollando un poco la expresión y despejando x´ queda:
σx´=σx∙cos2θ-τxy∙cos θ∙sen θ+σy∙sen2 θ-τyx∙sen θ∙cosθ
Ahora τxy=τyx, luego:
σx´=σx∙cos2θ-2∙τxy∙cos θ∙sen θ+σy∙sen2 θ
Se tiene además que:
cos2 θ=1+cos2θ2
sen2 θ=1-cos2θ2
sen θ∙cosθ=sen 2θ2
Reemplazando estas expresionesen la ecuación anterior queda:
σx´=σx∙1+cos2θ2+σy∙1-cos2θ2-τxy∙sen 2θ
Reordenando esta expresión queda:

Haciendo equilibrio de fuerzas en el eje y´, se tiene:
Fy´=τx´y´∙dA-σx∙dA∙cosθ∙senθ-τxy∙dA∙cos θ∙cos θ+σy∙dA∙sen θ∙cos θ+τyx∙dA∙sen θ∙senθ=0
Reduciendo términos, simplificando y despejando τx´y´ queda:
τx´y´=σx∙cosθ∙senθ+τxy∙cos2 θ-σy∙sen θ∙cos θ-τyx∙sen2 θτx´y´=σx-σy∙cosθ∙senθ+τxy∙cos2 θ-τyx∙sen2 θ
τx´y´=σx-σy2∙sen2θ+τxy∙1+cos2θ2 -τyx∙1-cos2θ2
τx´y´=σx-σy2∙sen2θ+τxy∙1-1+cos2θ+cos2θ2

Las expresiones deducidas son las ecuaciones generales para los esfuerzos normales y cortantes, respectivamente, que actúan sobre cualquier plano localizado por el ángulo y causado por un sistema conocido de esfuerzos. Esas relaciones son las ecuaciones para la transformación del esfuerzo de un sistemade ejes coordenados inicial a uno rotado respecto a este último.
Reemplazando por + 90° en las dos ecuaciones se obtiene el esfuerzo normal en y´ y´ y el esfuerzo tangencial τy´x´. Algebraicamente estos esfuerzos son:
σy´=σx+σy2+σx-σy2∙cos(2θ+180)-τxy∙sen( 2θ+180)
σy´=σx+σy2+σx-σy2∙cos2θ∙cos180-sen 2θ∙sen 180-τxy∙sen 2θ∙cos180+cos2θ∙sen 180
σy´=σx+σy2+σx-σy2∙-cos2θ-τxy∙-sen 2θτy´x´=σx-σy2∙sen(2θ+180)+τxy∙cos(2θ+180)

Haciendo σx´+σy´ queda:
σx´+σy´=σx+σy
1.2 ESFUERZOS PRINCIPALES EN PROBLEMAS BIDIMENCIONALES
A menudo el interés, en el análisis de esfuerzos, se centra en los esfuerzos máximos a los que está sometido un elemento. Para encontrar tales esfuerzos la ecuación general para los esfuerzos normales y cortantes se deriva respecto a y luego se iguala a...