Mecanica elemental de materiales

´ ´ BREVE INTRODUCCION A LA INTEGRACION VECTORIAL
Kepler Ck Ikastegia 2007

Breve introducci´n a la integraci´n vectorial o o

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Kepler Ck Ikastegia

´ Indice general
1. Integraci´n vectorial o 1.1. Integrales curvil´ ıneas, de l´ ınea o de camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8

2. Ejercicios 13 2.1. Ejercicios sobre derivadas direccionales y gradientes de campos escalares . . . . . 13 2.2. Ejercicios sobre integrales de l´ ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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Breve introducci´n a la integraci´n vectorial o o

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Kepler Ck Ikastegia

Cap´ ıtulo 1

Integraci´n vectorial o
1.1.
Sean C : [a, b] ⊂ IR −→ IR3 t −→ (x(t), y(t),z(t)) una curva regular parametrizada en IR3 y f : IR3 −→ IR (x, y, z) −→ f (x, y, z)

Integrales curvil´ ıneas, de l´ ınea o de camino

un campo escalar continuo, es decir, una funci´n continua de variable vectorial (o de varias o variables) con valores en el cuerpo de escalares IR. Definici´n: o Se llama integral de l´ ınea de primera especie (o integral curvil´ ınea de primera especie) delcampo escalar f a lo largo de la curva C a la siguiente integral: f dl =
b a

C

f (C(t) C (t) dt

dx dy dz , , denota el vector tangente a la curva en el dt dt dt punto C(t). Si la curva es cerrada, es decir, C(a) = C(b) la notaci´n es o donde C (t) = (x (t), y (t), z (t)) = f dl

C

Ejemplo: Si f = 1, es decir, ∀(x, y, z) ∈ IR3 es f (x, y, z) = 1 entonces f dl =
b a

C

C (t) dt5

Breve introducci´n a la integraci´n vectorial o o representa la longitud de la curva. Sean C : [0, 2π] ⊂ I −→ IR2 R t −→ (R cos t, R sen t) una parametrizaci´n positiva de la circunferencia de radio R > 0 centrada en el origen en IR2 , y o f : IR2 −→ I R (x, y) −→ un campo escalar constante, entonces f dl =
2π 0

1

C

R dt = 2πR

Sea ahora F : IR3 −→ I 3 R (x, y, z) −→ (F1 (x, y,z), F2 (x, y, z), F3 (x, y, z))

un campo vectorial continuo, es decir, una funci´n continua de variable vectorial (o de varias o variables) con valores en IR3 . En algunos textos, sobre todo de F´ ısica, los campos vectoriales suelen denotarse por F . Definici´n: o Se llama integral de l´ ınea de segunda especie (o integral curvil´ ınea de segunda especie) de F a lo largo de la curva C a laintegral: F dl =
b a

C

F (C(t) · C (t) dt

En notaci´n cl´sica se escribir´ o a ıa
C

F1 dx + F2 dy + F3 dz

Si la curva es cerrada, es decir, C(a) = C(b) la notaci´n es o F dl

C

y en este caso se habla de circulaci´n de F a lo largo de la curva cerrada C. o Ejemplo: Si la fuerza es F : IR2 −→ IR2 k k √ ,√ (x, y) −→ 2 2 6 Kepler Ck Ikastegia

Breve introducci´n a la integraci´nvectorial o o F = kN
       ◦ 45

F = kN
     ◦   45

0

s

Figura 1.1: Trabajo realizado por una fuerza constante de m´dulo “k” Newtons para trasladar o un cuerpo de masa “m” kg de un punto a otro a lo largo de un segmento de recta de longitud “s” metros. y la recta a lo largo de la cual se ejerce tiene la parametrizaci´n siguiente: o C : [0, 1] ⊂ IR −→ IR2 t −→ (st, 0) entonces W= Fdl = k k √ ,√ 2 2
1 0

C 1 0

F (C(t) · C (t) dt = · (s, 0) dt =
1 0

k k √ s dt = √ st 2 2

1 0

1 = k √ s = F s cos 45◦ 2

que es la conocida f´rmula del trabajo de una fuerza constante a lo largo de una recta estudiada o en Bachillerato. Definici´n: o Si el campo vectorial F es un gradiente, i.e., si existe un campo escalar f (denominado potencial) ∂f ∂f ∂f , , y se cumplen losrequisitos de continuidad entonces F dl = tal que F = f = ∂x ∂y ∂z C b b b d F (C(t) · C (t) dt = f (C(t)) · C (t) dt = (f ◦ C) dt = f (C(b)) − f (C(a)) a a a dt Ejemplo: Supongamos que tenemos una masa “M”situada en el origen; ´sta crea a su alrededor un campo e gravitatorio cuya expresi´n en un punto (x, y, z) de IR3 de acuerdo con la Ley de Gravitaci´n o o Universal de Newton viene dada por:...