mecanica

Capitulo Dos.
La Transformada de Laplace.
El método de la transformada de Laplace proporciona una forma eficiente para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.con coeficientes constantes. Una clase importante de problemas de control se reduce a la solución de tales ecuaciones.


Ejemplo 1.- Encuentre la Transformada de Laplace de la función f(t) = 1

Entonces
Hay algunoshechos valiosos hasta este momento.
1.- La transformada de Laplace f(s) no contiene información acerca del comportamiento de f(t) para t menor que cero. Esto no es una limitación para el estudio de sistemas de control porque t representara la variable tiempo y será insertada en el comportamiento de sistemas únicamente para tiempo positivos. De hecho, las variables y sistemas son usualmentedefinidos tal que f(t) = 0 para tiempo menor que cero.
2.- Como la transformada de Laplace esta definida por una integral impropia, no existirá para cada función f(t).
3.- La transformada de Laplace es lineal.

A y b son constantes.
4.- El operador de la transformada de Laplace transforma una función de la variable t a una función de la variable s. La t es eliminada por la integración.Transformada de Funciones Simples.
1.- La función escalon.

Esta expresión también se llama función de Heaviside.

Como se esperaba, el comportamiento de la función para t menor que cero no tiene efecto sobre su transformada de Laplace.
Si f(t) = Au(t), f(s) = A/s.
2.- La function exponencial.

Donde u(t) es la función de escalon unitario o de Heaviside.

Dado que (s+a) mayor que cero, o sea smayor que –a
3.
La función Rampa.é


4.- La función seno.


Para integrar se uso el método por partes.
Transformada de derivadas.
Se mostrara que la transformada de Laplace tiene la importante propiedad de transformar la operación de la diferenciación con respecto a t a aquella de multiplicación por s.

Donde y f(0) es f(t) evaluado en t = 0. Es esencial que f(0) no se interpretecomo f(s) con s = 0.
Prueba.

Integrar por partes, sea



Ahora la transformada de la segunda derivada.


En general

Ejemplo.
Resolver la ecuación diferencial usando el método de la transformada de Laplace.

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial se obtiene:

Aplicando la condición inicial.


Resulta el siguiente sistema de ecuaciones.

Resolviendo estesistema de dos ecuaciones y dos incognitas:
A=1, B=-1
Sustituyendo en la expresión de las fracciones parciales:

Anti transformando se obtiene la solución de la ecuación diferencial.

Otro Procedimiento para evaluar las constantes A y B.

Para determinar A, multiplicar ambos lados por s.

Como esto debe de cumplirse para toda s, se debe cumplir también para s = 0. Sustituyendo s = 0.
,entonces A = 1.
Para encontrar B, multiplicar ambos lados de la ecuación por (s + 1)

Como esta igualdad debe de cumplirse para toda s, entonces también debe de cumplirse para (s + 1) = 0, o sea s = -1. Sustituyendo s = -1.
, B = -1
Observar que se obtuvieron los mismos valores A = 1 y B = -1 que aquellos con el primer método.
Se puede notar también que el primer método implica resolverun sistema de ecuaciones lineales lo cual eventualmente puede ser mas complicado que usar el segundo método, que no necesita plantear el sistema de ecuaciones. Por esta razón se usara el segundo método.
Ejemplo.
Resolver la siguiente ecuación diferencial usando el método de la transformada de Laplace.

Las condiciones iniciales son:

Tomando la transformada de Laplace en ambos lados de laecuación diferencial.

Sustituyendo las condiciones iniciales:





El polinomio cubico en el denominador puede ser factorizado y x(s) puede ser expandido en fracciones parciales.

Para encontrar A, multiplicar ambos lados de esta ecuación por s y fijar s = 0. El resultado es:

, A = -2.
Para encontrar B, multiplicar ambos lados por (s-2), fijar (s-2) = 0, s = 2.

, B = 1/12...