Mecanica
Páginas: 121 (30148 palabras)
Publicado: 14 de febrero de 2012
CAPÍTULO 0 ANÁLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES
En la descripción matemática de los diversos fenómenos físicos, y en particular, de aquellos relacionados con la interacción electromagnética, es necesario recurrir al concepto de campo, entendiendo como tal una magnitud física asociada a la existencia de una porción de materia cuyo valor en un punto del espacio es una medidadel efecto de esta porción de materia sobre un cuerpo de prueba situado en dicho punto. De esta manera, el campo es una magnitud física que depende de las coordenadas cartesianas del punto considerado. En muchas ocasiones, la simetría del problema que se está considerando indica la necesidad del uso de coordenadas diferentes a las cartesianas. Supóngase, por ejemplo, que se examina un campo queposee simetría esférica, es decir, en cada punto del espacio dicho campo depende únicamente de la distancia de este punto al origen de coordenadas. Es claro que todas las fórmulas relacionadas con este campo deben simplificarse considerablemente si se escriben en coordenadas esféricas, en lugar de hacerlo en coordenadas cartesianas. En otros casos puede resultar más cómodo el uso de otros sistemasde coordenadas. Uno de los objetivos de este capítulo es presentar, sin recurrir a las coordenadas cartesianas, las herramientas necesarias para la descripción de los campos y de sus características diferenciales. Se discutirá una categoría especial de sistemas de coordenadas, a saber, los llamados sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales. Se busca, así mismo, suministrar nuevasherramientas matemáticas para agilizar el tratamiento de las operaciones del análisis vectorial en coordenadas cartesianas. § 0.0. COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS. Los sistemas de coordenadas que se considerarán en este curso son los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Coordenadas cartesianas. En este sistema (Figura (0.0.1)) la posición de un punto M sedetermina mediante sus tres coordenadas (a,b,c); este punto se encuentra en la intersección de tres planos mutuamente perpendiculares x=a, y=b, z=c, los cuales son paralelos a los planos de coordenadas x=0, y=0, z=0. De esta forma, el espacio se llena mediante tres familias de planos mutuamente perpendiculares x=C1, y=C2 , z=C3, (0.0.1)
donde C1 , C2 y C3 son constantes y cada punto del espacio es elpunto de intersección de tres planos de diferentes familias. Los planos y=b, z=c definen una recta, paralela al eje Ox ; en el punto con coordenadas (a,b,c) se puede definir un vector unitario ex tangente a la recta y=b, z=c. Así mismo, los planos x=a, z=c definen una recta, paralela al eje Oy ; en el punto con coordenadas (a,b,c) se define un vector unitario ey tangente a la recta x=a, z=c. Demanera análoga se define el vector unitario ez. Nótese que en el sistema de coordenadas cartesianas la familia de vectores ex, ey, ez es independiente de las coordenadas del punto, lo
CAPÍTULO 0. ANÁLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES
que no ocurre en otros sistemas de coordenadas, como se tendrá la oportunidad de ilustrar al examinar los sistemas de coordenadascilíndricas y esféricas.
Figura (0.0.1)
Coordenadas cilíndricas. Considérense ahora las coordenadas cilíndricas (ρ,ϕ,z) de un punto M cuyas coordenadas cartesianas son (x,y,z) (Figura (0.0.2)). La coordenada ρ es la distancia del punto M al eje Oz y ϕ es el ángulo que forma el plano que pasa a través del punto M y el eje Oz, con el plano xOz. El ángulo ϕ cambia de 0 hasta 2π y la variable ρ varíaentre 0 e ∞. A los puntos del eje Oz les corresponde ρ=0 y la coordenada ϕ de estos puntos está indeterminada.
Figura (0.0.2)
En el sistema de coordenadas cilíndricas se tienen las siguientes tres familias de superficies:
2
CAPÍTULO 0. ANÁLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES
ρ=C1 , ϕ= C2 , z= C3.
(0.0.2)
La primera familia (ρ=C1) es una familia de cilindros...
En la descripción matemática de los diversos fenómenos físicos, y en particular, de aquellos relacionados con la interacción electromagnética, es necesario recurrir al concepto de campo, entendiendo como tal una magnitud física asociada a la existencia de una porción de materia cuyo valor en un punto del espacio es una medidadel efecto de esta porción de materia sobre un cuerpo de prueba situado en dicho punto. De esta manera, el campo es una magnitud física que depende de las coordenadas cartesianas del punto considerado. En muchas ocasiones, la simetría del problema que se está considerando indica la necesidad del uso de coordenadas diferentes a las cartesianas. Supóngase, por ejemplo, que se examina un campo queposee simetría esférica, es decir, en cada punto del espacio dicho campo depende únicamente de la distancia de este punto al origen de coordenadas. Es claro que todas las fórmulas relacionadas con este campo deben simplificarse considerablemente si se escriben en coordenadas esféricas, en lugar de hacerlo en coordenadas cartesianas. En otros casos puede resultar más cómodo el uso de otros sistemasde coordenadas. Uno de los objetivos de este capítulo es presentar, sin recurrir a las coordenadas cartesianas, las herramientas necesarias para la descripción de los campos y de sus características diferenciales. Se discutirá una categoría especial de sistemas de coordenadas, a saber, los llamados sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales. Se busca, así mismo, suministrar nuevasherramientas matemáticas para agilizar el tratamiento de las operaciones del análisis vectorial en coordenadas cartesianas. § 0.0. COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS. Los sistemas de coordenadas que se considerarán en este curso son los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Coordenadas cartesianas. En este sistema (Figura (0.0.1)) la posición de un punto M sedetermina mediante sus tres coordenadas (a,b,c); este punto se encuentra en la intersección de tres planos mutuamente perpendiculares x=a, y=b, z=c, los cuales son paralelos a los planos de coordenadas x=0, y=0, z=0. De esta forma, el espacio se llena mediante tres familias de planos mutuamente perpendiculares x=C1, y=C2 , z=C3, (0.0.1)
donde C1 , C2 y C3 son constantes y cada punto del espacio es elpunto de intersección de tres planos de diferentes familias. Los planos y=b, z=c definen una recta, paralela al eje Ox ; en el punto con coordenadas (a,b,c) se puede definir un vector unitario ex tangente a la recta y=b, z=c. Así mismo, los planos x=a, z=c definen una recta, paralela al eje Oy ; en el punto con coordenadas (a,b,c) se define un vector unitario ey tangente a la recta x=a, z=c. Demanera análoga se define el vector unitario ez. Nótese que en el sistema de coordenadas cartesianas la familia de vectores ex, ey, ez es independiente de las coordenadas del punto, lo
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que no ocurre en otros sistemas de coordenadas, como se tendrá la oportunidad de ilustrar al examinar los sistemas de coordenadascilíndricas y esféricas.
Figura (0.0.1)
Coordenadas cilíndricas. Considérense ahora las coordenadas cilíndricas (ρ,ϕ,z) de un punto M cuyas coordenadas cartesianas son (x,y,z) (Figura (0.0.2)). La coordenada ρ es la distancia del punto M al eje Oz y ϕ es el ángulo que forma el plano que pasa a través del punto M y el eje Oz, con el plano xOz. El ángulo ϕ cambia de 0 hasta 2π y la variable ρ varíaentre 0 e ∞. A los puntos del eje Oz les corresponde ρ=0 y la coordenada ϕ de estos puntos está indeterminada.
Figura (0.0.2)
En el sistema de coordenadas cilíndricas se tienen las siguientes tres familias de superficies:
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CAPÍTULO 0. ANÁLISIS VECTORIAL EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES
ρ=C1 , ϕ= C2 , z= C3.
(0.0.2)
La primera familia (ρ=C1) es una familia de cilindros...
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