Mecanica

Relación entre la descomposición QR y el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

Aprovechando el ejemplo anterior, presentamos una ruta alternativa, la cual no esquematizamos totalmente ya que es superada por la utilización de las matrices de Givens.

Efectuaremos una descomposición QR de la matriz




A =



La descomposición QR basada en elmétodo de ortogonalización de Gram-Schmidt, sigue el siguiente procedimiento.

A partir de las columnas de A, se construye una base de su espacio columna C(A).

Comenzando con las columnas de A; A1, A2, A3, en donde



A1 = A2 = A3 =


Iniciamos el proceso de ortogonalización con u1 = A1 .

Normalizando a A1, obtenemos w1 = (1/( u1() u1.



w1 = (1/2) A1 . Por lo tantow1 =


Como w1 es de norma 1, hacemos

u2 = A2 – (< A2 , w1 >/ < w1 , w1 >) w1 = A2 – < A2 , w1 > w1 =


- (1/2) =



Como ( u2 (= (((1/4)2 + (3/4)2 + (1/4)2 + (1/4)2) = (3 / 2

Normalizando a u2 obtenemos el nuevo vector w2 = ( 1/( u2( ) u2 = ( 1/ ((3 / 2)) u2


w2 = (2/(3) = , de donde



A2 = u2 + < A2 , w1 > w1= ( u2( w2 + < A2 , w1 > w1






Tomamos ahora u3 = A3 - < A3 , w1 > w1 - < A3 , w2 > w2 =(recuerde que ( w1( = ( w2 (= 1




= - 1 - ( -(3 / 3) =






Como ( u3 ( = (6 / 3, hacemos


w3 = 1 /( u3 ( = (3 / (6) u3 = (3(6 / 6) u3 = ((6 / 2) u3 =




Luego A3 = u3 + < A3 , w1 > w1 + < A3 , w2 > w2 =( u3( w3 + < A3 , w1 > w1 + < A3 , w2 > w2 .


Por lo tanto



Una vez calculados los vectores base ortonormales en C(A),


w1 = w2 = w3 =


Completaremos esta base del espacio columna de A, C(A), con un vector fuera de tal subespacio que conforme con ellos una base ortogonal de R4.

Hay que hallar un vector en R4 que no pertenezca a C(A).Un vector b = que no sea combinación lineal de las columnas de A. O sea tal que:

b = x1 A1 + x2 A2 + x3 A3,

no tenga solución.


Es decir que = x1 + x2 + x3


no tenga solución.

O sea que




No tenga solución. Esto evidentemente sucede si b1 ( b3.


Podemos tomas por ello el vector unitario b =


Debemos formar con w1 , w2 , w3 , y b, una baseortonormal, completándola así por Gram-Schmidt:

u4 = b - < b , w1 > w1 - < b , w2 > w2 - < b , w3 > w3 =





- (1/2) + ((3 / 6) - ((6 / 6)






= . Como (u4( = (2 / 2, tenemos: w4 = ( 2/(2 ) =




La matriz Q = ( w1, w2, w3, w4 ( , es una matriz ortogonal.

Tomando en cuenta dicha matriz Q y loscoeficientes que relacionan las columnas de A con las columnas de Q , que aparecieron en los cuadros enmarcados de esta sección, concluimos que:



=




Los coeficientes que aparecen en las expresiones de los vectores A1, A2, A3 como combinaciones lineales de los vectores ortogonales w1, w2, w3, w4 , que conforman que conforman a la matriz ortogonal Q, aparecen enese mismo orden organizados por columnas en la matriz “triangular superior” R.

Esta última descomposición no es exactamente la misma que se obtuvo utilizando las transformaciones de Givens, por lo cual concluimos que la descomposición QR no es única.

Algunas aplicaciones de la descomposición QR

i) Si A es una matriz y se ha logrado la descomposición QR, en donde Q es una matrizortogonal, un sistema de ecuaciones lineales Ax = b, se puede expresar como QRx = b y resolverse fácilmente por sustitución regresiva como Rx = Q Tb, ya que R es una matriz triangular superior.
ii) Si A es una matriz cuadrada, A = QR, donde Q es una matriz ortogonal, puede probarse que (Q(= 1 (a partir de la propiedad Q TQ = 1, y ( Q T(= ( Q (, esta ultima propiedad del determinante es válida...