Mecanica

Residuo (análisis complejo)
Se denomina residuo de una función analítica en una singularidad aislada al número

donde C representa una circunferencia de centro y radio R en cuyo interior no haypuntos singulares de la función salvo .
Cálculo de residuos
Si tiene una singularidad evitable en , el residuo es . Si tiene un polo de orden en , entonces el residuo se puede calcular como:

Enparticular, si (polo simple),

Si el punto es una singularidad esencial, el residuo se calcula desarrollando la función en serie de Laurent en torno a . El residuo es el coeficiente correspondientea la potencia de exponente .
Teorema del residuo
Si un polinomio f(x) se divide entre el binomio x−a, donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a).
El teorema es muyútil en la factorización de polinomios: si f(a) (el residuo) es cero, entonces x−a  es un factor de f(x). Nota: a este corolario del teorema del residuo se le llama teorema del factor.
Instancia deuso: si queremos factorizar f(x)=2x3+x2+3x+4, buscamos por prueba y error el número a que lo anula; después de uno o más intentos se ve que x= −1 resulta en f(-1)=0; concluimos que x+1 es un factor def(x). (Para efectivamente lograr la factorización es necesario hacer la división de f(x) entre x+1: el cociente es 2x2−x+4; por tanto f(x)=(x+1)(2x2−x+4).)

Demostración: 
Al dividir f(x) entre x−ase debe obtener un cociente q(x) y un residuo r --el cual es una constante (polinomio de grado cero) pues de otra manera se podría seguir dividiendo entre x−a. Entonces f(x)=q(x)(x−a)+r. De aquí quef(a)=r. (Claramente, si r=0 el polinomio queda factorizado.)
Regla de leibniz
En análisis matemático, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto, gobierna laderivación del producto de funciones derivables.
Puede declararse informalmente como "la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda" o...