mecatronica

12 Ecuaciones diferenciales lineales
12.1 Definici´on
Llamaremos ecuaci´on diferencial lineal de orden n a cualquier ecuaci´on de la forma
a0(x)y(n) + a1(x)y(n¡1) + : : : + an¡1(x)y0 + an(x)y =b(x)
Si b(x) ´ 0 la ecuaci´on lineal se llama homog´enea y si b(x) 6´ 0 se llama completa.
Dada una ecuaci´on diferencial lineal completa de orden n
a0(x)y(n) + a1(x)y(n¡1) + : : : + an¡1(x)y0 +an(x)y = b(x)
con b(x) 6´ 0, a la que en adelante nos referiremos por (ELC), llamaremos ecuaci´on lineal
homog´enea asociada a la ecuaci´on
a0(x)y(n) + a1(x)y(n¡1) + : : : + an¡1(x)y0 + an(x)y = 0
ala que en adelante nos referiremos por (ELH).
12.2 Teorema de existencia y unicidad
Si ai(x), 0 · i · n, y b(x) son funciones continuas en un intervalo I = [a; b] ½ R y
a0(x) 6= 0 para todo x 2 I,entonces para cada x0 2 I e (y0; y00; : : : ; y(n¡1)
0 ) 2 Rn el
problema de Cauchy
8>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:
a0(x)y(n) + a1(x)y(n¡1) + : : : + an¡1(x)y0 + an(x)y = b(x)
y(x0) = y0
y0(x0) = y00
:: :
: : :
y(n¡1)(x0) = y(n¡1)
0
tiene una ´unica soluci´on y = '(x), x 2 I = [a; b].
12.3 Polinomio operacional
Si representamos Dky = y(k), k ¸ 1, la ecuaci´on diferencial (ELC) se puederepresentar
por P(D)y = b(x) donde
P(D) = a0(x)Dn + a1(x)Dn¡1 + : : : + an¡1(x)D + an(x)
se llama polinomio operacional. Las soluciones de (ELC) y (ELH) se pueden expresar
en t´erminos de este polinomiocomo
y = '(x) es soluci´on de
8<
:
P(D)y = b(x)
o
P(D)y = 0
()
8<
:
P(D)'(x) = b(x)
o
P(D)'(x) = 0
Este polinomio tiene las siguientes propiedades:
1. P(D) (®' + ¯Ã) = ®P(D)' + ¯P(D)Ã,8®; ¯ 2 R. (Lineal)
2. P(D)e¸x = P(¸)e¸x, 8¸ 2 R.
Como consecuencia inmediata, de esta ´ultima propiedad, se tiene que si existe ¸ 2 R tal
que P(¸) ´ 0 entonces y = e¸x es soluci´on de (ELH).Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 2
12.4 Propiedades de las soluciones
1. Si f'i(x)gN
i=1 son N soluciones de (ELH), entonces cualquier combinaci´on lineal de
ellas
'(x) =
XN...