Medidas de posicion estadistica

Doctor Danilo de Leon Juarez

MEDIDAS DE POSICION

Casi todos estamos familiarizados con los puntajes de coeficiente de inteligencia (IQ) y reconocemos que un IQ de 102 es común, en tanto que uno de 170 es excepcional. El IQ de 102 es común porque esta muy cerca de la media de 100, pero el IQ de 170 es raro porque está muy por arriba de 100. Esto podría sugerir que es posible diferenciarentre los puntajes típicos y los pocos comunes con base en la diferencia entre el puntaje y la media (x-x), sin embargo, el tamaño de tales diferencias es relativo a la escala que se está usando. En el caso de los puntajes de IQ una diferencia de dos puntos es insignificante, pero en un promedio de calificaciones universitario la diferencia de dos puntos entre 2.00 y 4.00 es muy significativa, sobretodo para los padres. Sería mucho mejor si pudiéramos usar un estándar independiente de la escala empleada. Con el puntaje estándar, dividimos la diferencia x-x o (x-µ) entre la desviación estándar para obtener tal resultado.

DEFINICIÓN:
El puntaje estándar o puntaje z, es el número de desviaciones estándar que un valor x dado está arriba o debajo de la media, y se calcula con:

MuestraPoblación


(Redondee z a dos puntos decimales.)

EJEMPLO:
Las alturas de todos los hombres adultos tienen una media de µ=69.0 pulg. Una desviación estándar de σ=2.8 pulg. Y una distribución con forma de campana. El jugador de baloncesto Michael Jordan se ha hecho acreedor de una reputación legendaria por su habilidad, pero conuna estatura de 78 pulg. ¿Es él excepcionalmente alto en comparación con la población general de hombres adultos? Calcule el puntaje z para esta estatura de 78 pulg.

SOLUCIÓN:
Dado que estamos manejando parámetros de población el puntaje z se cálcula como sigue:

Podemos interpretar este resultado diciendo que la estatura de 78 pulg. De Michael Jordan está a 3.21 desviaciones estándar arribade la media.

El papel de los puntajes z en estadística es extremadamente importante, por que pueden servir para distinguir entre los valores ordinarios y los inusitados. Los valores con puntajes estándar entre -2.00 y 2.00 son ordinarios, y aquellos con puntajes z menores que -2.00 o mayores que 2.00 son inusitados. La altura de Michael Jordan se convierte en un puntaje z de 3.21, así que loconsideramos inusitado porque es mayor que 2.00. en comparación con la población general, Michael Jordan es excepcionalmente alto.

Valores inusitados

Valores inusitados

Valores ordinarios
-3 -2 -1 0 1 2 3
z

Nuestro criterio para los puntajes zinusitados es consecuencia de la regla empírica y el teorema de Chebyshev. Recuerde que, según la regla empírica para datos con distribución en forma de campana, cerca del 95% de los valores se esta a menos de dos desviaciones estándar de la media, el 75% de los valores está a menos de dos desviaciones estándar de la media.
Ya señalamos antes que los puntajes z también son útiles para compararpuntajes de diferentes poblaciones con diferentes medias y diferentes desviaciones estándar. El ejemplo siguiente ilustra este uso de los puntajes z.

EJEMPLO:
Una profesora de estadística administra dos exámenes distintos a dos secciones de su clase. Las estadísticas se dan a continuación. ¿Qué puntaje es relativamente mejor: un 82 en el examen de la sección 1 o un 46 en el examen de la sección2?

Sección 1: x = 75 y s = 14
Sección 2: x = 40 y s = 8

SOLUCIÓN:
No podemos comparar directamente los puntajes de 82 y 46, porque provienen de diferentes escalas. En vez de ello, convertimos ambos a puntajes z. para el puntaje de 82 en el examen de la sección 1 obtenemos un puntaje z de 0.50, porque;

Para el puntaje de 46 en el...