medio ambiente

8.4. Aplicaciones de la integral
Con una integral puedes calcular magnitudes tan diversas como áreas, volúmenes, longitudes
de curvas, el trabajo realizado por una fuerza, la masa de un sólido, momentos de inercia,
el campo eléctrico, el flujo de un fluido a través de una superficie y muchas más. Es notable,
sin embargo, que la forma de proceder sea casi siempre la misma, y consiste enexpresar el valor
exacto de la magnitud que se quiere calcular como un límite de sumas de Riemann, para
deducir, a partir de ellas, la integral cuyo cálculo proporciona la solución del problema. Podrás
comprobar en lo que sigue que esta técnica es bastante sencilla e intuitiva. Con un poco de
práctica tú mismo podrás aplicarla con éxito en situaciones distintas de las que aquí se consideran.
Todolo que sigue está también en formato de cuaderno de Mathematica en el sitio
http://wwww.ugr.es/local/fjperez.
8.4.1. Cálculo de áreas planas
Te recuerdo que si f : [a,b]→R es una función continua, representamos por G( f ,a,b) la región
del plano comprendida entre la curva y = f (x), el eje de abscisas y las rectas x = a, x = b.
Como sabes, el área de dicha región viene dada por
(G( f ,a,b))=
b
wa
| f (x)| dx
Es interesante interpretar la integral que proporciona el área de la siguiente forma. Observa
que | f (x)| es la longitud del segmento intersección de G( f ,a,b) con la recta vertical que pasa
Universidad de Granada
Dpto. de AnálisisMatemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo – Ing. de Telecomunicación
Cálculo de áreas planas 134
por (x,0), es decir, | f (x)| es lalongitud de la sección vertical de G( f ,a,b) por el punto (x,0), y el
área de la región G( f ,a,b) es igual a la integral de las longitudes de sus secciones. Intuitivamente:
integrando longitudes obtenemos áreas. Como el área es invariante por rotaciones, este resultado
es también válido si consideramos secciones por rectas paralelas a una recta cualquiera
dada. Deducimos así el siguiente resultado.Principio de Cavalieri. El área de una región plana es igual a la integral de las longitudes de sus
secciones por rectas paralelas a una recta dada.
Veamos cómo se aplica este principio en algunos casos concretos.
Regiones de tipo I
Supongamos que f , g son funciones continuas y llamemosa la región del plano comprendida
entre las curvas y = f (x) e y = g(x) para a 6 x 6 b. Se dice quees una región de tipo I. Es
evidente que las longitudes de las secciones verticales de son iguales a | f (x)−g(x)| por lo que
su área viene dada por
b
wa
| f (x)−g(x)| dx (8.9)
Observa que esta integral expresa el área de como límite de las sumas de Riemann
Xn
k=1
| f (tk)−g(tk)|(xk −xk−1)
lo que tiene una sencilla interpretación que puedes ver en la siguiente figura.
1 2 3 4 5 6
-1
12
3
1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
Figura 8.4: Región de tipo I
Cuando la función f −g no tiene signo constante en el intervalo [a,b], para calcular la integral
(8.9) se descompone dicho intervalo en intervalos en los que la función f −g es siempre
positiva o siempre negativa, lo que permite quitar el valor absoluto en el integrando.
A veces interesa expresar una región de tipo I como unión dedos o más regiones de tipo
I disjuntas y más sencillas, entonces su área es la suma de las áreas de cada una de dichas
regiones.
8.42 Ejemplo. Vamos a calcular el área de la región comprendida entre la parábola y2 = x y
la recta y = x−2.
Universidad de Granada
Dpto. de AnálisisMatemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo – Ing. de Telecomunicación
Cálculo de áreas planas 135
Calculamos lospuntos de corte de la recta y la parábola resolviendo la ecuación x = (x−2)2,
cuyas soluciones son a = 1, b = 4. Puedes ver representada la región en azul en la siguiente
figura.
11 2 3 4
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
Podemos considerar como una región de tipo I. La función cuya gráfica limita a por
arriba es g(x) = √x. La función cuya gráfica limita a por abajo viene dada por
f (x) =...