Mesa elípticas




OBJETIVOS:


1. Demostrar el movimiento periódico de una partícula dentro de una elipse.

2. Dar a conocer los sucesos que sufre la partícula










INDICE

1. Mesas de billar elípticas.
2. Definición y una propiedad útil de una elipse.
3. Caso especial: la pelota pasa por encima de un foco.
4. Caso general: el primer disparo no pasa por un enfoque.
4.1. Primercaso: el primer disparo no pasa entre los focos de la elipse.
4.2. Segundo caso: el primer tiro pasa entre los focos de la elipse.
5. Mesa Elíptica
6. Bibliografía
7. Materiales y costos
8. Conclusión
9. Elaboración de un mesa elíptica
10. Plano




MESAS DE BILLAR ELÍPTICAS
Normalmente, un juego de billar se juega en una mesa rectangular. En una "mesa de billar matemática" se considerasólo una bola. Por otra parte, esta bola se reduce a un punto que se mueve en una línea recta hasta que choca con un borde y rebota hacia atrás de tal manera que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia. Ambos ángulos pueden ser considerados como los ángulos formados por el lado de la mesa en cuestión y las líneas de entrada y salida. El matemático Charles L. Dodgson, más conocidocomo Lewis Carroll, autor de "Alicia en el País de las Maravillas", pensó y escribió sobre mesas de billar circular. Vamos a considerar una mesa de billar que tiene la forma de una elipse. Esta página existe desde 2002, pero sólo muy recientemente (julio de 2007) que descubrió el libro Geometría y Billar por SergeTabachnikov . En este libro (186P), el autor pone en peligro las diferentes formas debillar y las matemáticas (a menudo no es tan malo) detrás de ellos. La ley rebotando está vinculada a la ley de reflexión en la óptica y para el principio variacional detrás de él: reducir al mínimo el tiempo de un rayo de luz tiene que viajar desde el original hasta el punto reflejado. En cuanto a elípticas billar esto conduce de una manera corta y elegante a la propiedad de que un disparo pasa através de uno de los focos se refleja a través del otro foco. Una buena prueba geométrica de esta propiedad es mencionada más. En la misma publicación se puede encontrar una prueba de la propiedad de que una trayectoria de billar dentro de una elipse permanece tangente a una cónica confocal fijo. El libro también contiene una extensa bibliografía. 


Definición y una propiedad útil de unaelipse
Teniendo en cuenta dos F1 y F2 punto fijo en un plano, una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P en ese plano para el cual la suma de las distancias a F1 y F2 es igual a un valor dado 2a. 
Los puntos dados F1 y F2 se llaman el focos de la elipse, PF1 y PF2 se denominan radios focales del punto P. 




Dado el valor 2a y llamar a 2c la distancia entre los focos F1 y F2 queestamos fácilmente llevados a la longitud de los ejes de la elipse. La longitud del eje mayor A-A 'es 2a y la longitud del eje menor BB' es 2b. La relación entre a, b y c se ilustra en la siguiente imagen. 





La propiedad que será más útil en el tratamiento adicional de nuestro tema se ilustra en la siguiente imagen. 






Esta propiedad se puede formular en una otra manera, el usode la normal, en lugar de la tangente en P. El normal en un punto de una elipse es la línea que pasa por P que es ortogonal a la tangente en P a la elipse. 





Un caso especial: la pelota pasa por encima de un foco
El balón se coloca en P1 y le disparó en la dirección del foco F1. Si la pelota golpea el borde de la tabla en P2 que se puede rebotar de acuerdo con la ley de la reflexión:el ángulo entre el camino de entrada y el normal en P2 es igual al ángulo entre la normal y la ruta de salida. Como consecuencia de la propiedad mencionada pasado la pelota se va a recuperar a lo largo de P2F2! 
Después de un nuevo golpe, el balón rebotará por el otro foco F1. En la siguiente ilustración se considera una secuencia de rebotes consecutivos.







Después salta un número...