Metafisica

´
DESARROLLO Y OBTENCION DE LOS POLINOMIOS DE
LEGENDRE
Alex´nder Contreras*
a
Departamento de F´
ısica, Universidad de Pamplona, Colombia.
(Dated: Febrero 2013)

Abstract
We report the development of Legendre polynomials, which are obtained from a Frobenious solution. Additionally, we obtain the corresponding to Rodriguez formule, the generator function, the orthogonality relations and the aboveapplies to an example specific
physical.
Resumen
Se presenta el desarrollo de los Polinomios de Legendre, los cuales se obtienen a partir
de una soluci´n en series de Frobenious. Adicionalmente, se obtiene la respectiva f´rmula de
o
o
Rodriguez, la funci´n generatriz, las relaciones de ortogonalidad y se aplica todo lo anterior
o
a un ejemplo f´
ısico en espec´
ıfico.

*

Electronic address:alexander@astrosen.unam.mx

2
En primer lugar, consid´rese la ecuaci´n diferencial ordinaria de Legendre:
e
o

(1 − x2 )y − 2xy + σy = 0

(1)

donde −1 ≤ x ≤ 1, que verifican la condici´n de ser regulares en x = ±1. (Ellas definen las
o
soluciones de la ecuaci´n de Sturn-Liouville).
o

I.

Soluci´n de la ecuaci´n diferencial de Legendre por series de Frobenious
o
o

A continuaci´n, consid´rese la soluci´ngeneral que se propone en series de potencias:
o
e
o
∞

ck (x − x0 )λ+k

y (x) ≡

(2)

k=0

de los coeficientes ck , el coeficiente c0 = 0; y x0 define el corrimiento de la soluci´n, para
o
´ste ultimo se ajustar´ una soluci´n alrededor de x0 = 0 (tal que se centralize el dominio
e
´
a
o
de la funci´n a −1 ≤ x ≤ 1, as´ como se pretende). En inferencia, derivando dos veces la
o
ı
definici´n (2), seobtiene, respectivamente:
o
∞

ck (λ + k )xλ+k−1

(3)

ck (λ + k )(λ + k − 1)xλ+k−2

(4)

y ( x) =
k=0

∞

y (x) =
k=0

Al sustituir ´stos resultados en la definici´n (2), se obtiene:
e
o
∞

∞

∞

ck (λ + k )(λ + k − 1)xλ+k−2 ] − 2x[

(1 − x2 )[
k=0

ck (λ + k )xλ+k−1 ] + σ
k=0

ck x λ + k = 0
k=0

∞

{ck (λ + k )(λ + k − 1)xλ+k−2 − ck (λ + k )(λ + k − 1)xλ+k − 2ck (λ + k ) + σck xλ+k } = 0
k=0
∞

∞ck (λ + k )(λ + k − 1)x
k=0

λ+k−2

ck [(λ + k )(λ + k − 1) + 2(λ + k ) − σ ]xλ+k = 0

−
k=0

∞

∞

ck (λ + k )(λ + k − 1)xλ+k−2 +
k=0

ck [−(λ + k )(λ + k + 1) + σ ]xλ+k = 0
k=0

3
Al cambiar n = k − 2 y n = k para el primer y segundo t´rmino de la ultima expresi´n,
e
´
o
respectivamente:

∞

∞

cn+2 (λ + n + 2)(λ + n + 1)x

λ+ n

n=−2

cn [−(λ + n)(λ + n + 1) + σ ]xλ+n = 0

+

(5)

n=0Expandiendo los dos primeros t´rminos de la sumatoria que se encuentra sobre la izquiere
da, se obtiene que:
c0 λ(λ − 1)xλ−2 + c1 λ(λ + 1)xλ−1 +
∞

{cn+2 (λ + n + 2)(λ + n + 1) + cn [−(λ + n)(λ + n + 1) + σ ]}xλ+n = 0

(6)

n=0

Igualando coeficientes (unicidad de series), se obtiene para el primer t´rmino de (6), la
e
ecuaci´n indicial:
o
c0 λ(λ − 1) = 0,

⇒

c0 = 0


 λ = 0,

(7)

 λ = 1.An´logamente, al tomar el coeficiente del segundo t´rmino de la expresi´n (6):
a
e
o

 λ = 0, ⇒ c es arbitrario
1
c1 λ(λ + 1) = 0 =⇒
 λ = 1, ⇒ c1 = 0

(8)

Finalmente, tomando el tercer t´rmino de la expresi´n (6), se obtiene la relaci´n de
e
o
o
recurrencia:
cn+2 =

(λ + n)(λ + n + 1) − σ
cn
(λ + n + 1)(λ + n + 2)

(9)

A continuaci´n, consid´rese de la expresi´n (7) λ = 0 sobre la relaci´n de recurrencia(9):
o
e
o
o
cn+2 =

n(n + 1) − σ
cn
(n + 1)(n + 2)

donde n ≡ 0, 1, 2, 3, .... Evaluando n, se obtienen los coeficientes:

(10)

4

c2 =
c3 =
c4 =
c5 =
c6 =
c7 =

0(0 + 1) − σ
c0
(0 + 1)(0 + 2)
1(1 + 1) − σ
c1
(1 + 1)(1 + 2)
2(2 + 1) − σ
c2
(2 + 1)(2 + 2)
3(3 + 1) − σ
c3
(3 + 1)(3 + 2)
4(4 + 1) − σ
c4
(4 + 1)(4 + 2)
5(5 + 1) − σ
c5
(5 + 1)(5 + 2)

=
=
=
=
=
=

0×1−σ
c0
2!
1×2−σ
c1
3!
(0 × 1 − σ)(2 × 3 − σ )
c0
4!
(1 × 2 − σ )(3 × 4 − σ )
c1
5!
(0 × 1 − σ )(2 × 3 − σ )(4 × 5 − σ )
c0
6!
(1 × 2 − σ )(3 × 4 − σ )(5 × 6 − σ )
c1
7!

·
·
·
Al sustituir ´stos coeficientes en la soluci´n original (2), se obtiene:
e
o
∞

ck x k

yλ=0 (x) =
k=0

= c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + c5 x5 + ...
0 × 1 − σ 2 (0 × 1 − σ )(2 × 3 − σ ) 4 (0 × 1 − σ )(2 × 3 − σ )(4 × 5 − σ ) 6
x+
x+
x
= c0 [1 +
2!...