METODO DE BAIRSTOW

METODO DE BAIRSTOW

Es un proceso iterativo relacionado con los métodos de Muller y Newton Raphson [recuerde la forma factorizada de un polinomio] por ejemplo
:
ƒ5(x)= (x + 1)(x – 4)(x – 5)(x + 3)(x – 2)
Suponiendo que el valor inicial de la raíz es x = t;
2) al dividir el polinomio entre el factor x – t, y
3)determinando si existe un residuo. Si no, el valor es perfecto y la raíz es iguala t. 
Si hay un residuo, el valor puede ser ajustado sistemáticamente y el procedimiento repetirse hasta que el residuo desaparezca y la raíz sea localizada. 
Realizado esto puede repetirse el procedimiento hasta que el cociente localice otra raíz. 
Consecuentemente el proceso matemático depende de dividir el polinomio entre un factor, tomando en cuenta la discusión del polinomio de deflacióncomo sigue a continuación:
Supóngase que se tiene la raíz de orden n-esimo, y teniendo un adecuado procedimiento para eliminarla raíz encontrada, a este procedimiento de eliminar la raíz se le llama deflaciónpolinomial.
Ejemplo: 
De la forma general de un polinomio de orden n:
ƒn(x)= a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxnec. 1)
Se tiene un polinomio definido:
ƒ5(x)= -120 – 46x + 79x2 - 3x3 - 7x4 +x5factorizando


resultaƒ4(x)= (x + 1)(x – 4)(x – 5)(x + 3)(x – 2)
y es claro quex = -1, 4, 5, -3 y 2son todas las raíces que representan a cada paréntesis individual ahora suponga que se divide la función polinomial de quinto orden por un factor de manera que se elimine una de sus raíces por ejemplo(x + 3) y se tiene una función de 4 orden:
ƒ4(x) = (x + 1)(x – 4)(x – 5)(x – 2) = - 40 – 2x + 27x2 -10x3 - x4 con residuo cero para este caso.
Así se tiene que la forma general ƒn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an xn entre un factor x – t dará un segundo polinomio de un orden mas bajo ƒn - 1(x) = b1 + b2x + b3x2 + . . . + bn xn – 1 ec 2) con residuo R = b0en donde los coeficientes son obtenidos por la relación de recurrencia: 
bn = an
bi = ai + rbi+1t para i = n – 1 a 0
Para permitir laevaluación de raíces complejas este método divide la función entre el factor cuadratico:
x2 - rx – s
aplicándolo en la ecuación ƒn(x)= a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn

resultando: ƒn - 2(x) = b2 + b3x + . . . . + bn – 1 x3 + bnxn – 2
con residuo R = b1(x – r) + b0ec. 3)
Y aplicando la relación de recurrencia se obtiene los siguientes coeficientes para la ecuación anterior:
bn = anec. 4.a)
bn-1= an-1 + rbnec. 4.b)
bi = ai + rbi+1 + sbni+2 para i = n – 2 a 0ec. 4.c)
Se introduce el factor cuadrático para la determinación de las raíces complejas, por que si los coeficientes del polinomio original son reales, las raíces complejas se presentan en pares conjugados. 
Si x2 - rx – s esun divisor exacto del polinomio, las raíces complejas pueden ser determinadas con la formula cuadrática porlo que el método se reduce solo a determinar r y s que provocan que el factor cuadrático sea un divisor exacto y por consiguiente se obtiene un residuo igual a cero.
Entonces si R = b1(x – r) + b0= 0,b1 yb0 deben ser iguales a cero. 
Esto para que los valores de inicio al evaluar r y s conduzcan a este resultado, se debe de aplicar un camino para los valores iniciales o de inicio de maneraque b1 yb0 tiendan a cero para ello se utiliza una técnica similar a la de Newton Raphson.
Pues b0 como b1son funciones de r y s y se expanden utilizando la serie de Taylor:
b1 (r + r, s + s) = b1+b1r + b1s
rs
b0 (r + r, s + s) = b0+b0r + b0 sec. 5)
rs
Los valores de la parte izquierda de la igualdad son evaluados en r y s. Obsérvese que el segundo termino y el termino de ordensuperior se han despreciado. Ya que en forma implícita – r y – s son muy pequeños y los términos de orden superior pueden ser despreciados, pero otra consideración es que los valores de inicio de son tan cercanos a los valores der y s de las raíces.
Para dar un valor inicial que se acerque a las raíces es el poner la ec. 5) igual a cero y que resulte:


b1r + b1s = - b1ec. 6)
rs
b0r...