Metodo de la secante

MÉTODO DE LA SECANTE.
Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de la derivada usando la siguiente aproximación:

Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos:

 
Que es la fórmula del método de la secante. Nótese que para poder calcular el valor de , necesitamos conocer  los dos valores anteriores    y  .
Obsérvese tambien, el gran parecidocon la fórmula del método de la regla falsa. La diferencia entre una y otra es que mientras el método de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados, el método de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo,  encuentra la aproximación casi con la misma rapidez que el método de Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de éste último de no converger a la raíz, mientras que el métodode la regla falsa va a la segura. 
Ejemplo 1
Usar el método de la secante para aproximar la raíz de  , comenzando con  ,    y hasta que  . 
Solución
Tenemos que    y  , que sustituímos en la fórmula de la secante para calcular la aproximación  :

Con un error aproximado de:

Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:Aprox. a la raíz | Error aprox. |
0 |   |
1 | 100% |
0.612699837 | 63.2% |
0.653442133 | 6.23% |
0.652917265 | 0.08% |
De lo cual concluímos que la aproximación a la raíz es:
 

Ejemplo 2
Usar el método de la secante para aproximar la raíz de  , comenzando con    y  , y hasta que   . 
Solución
Tenemos los valores    y  , que sustituímos en la fórmula de lasecante para obtener la aproximación  :

Con un error aproximado de:

Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raíz | Error aprox. |
0 |   |
1 | 100% |
0.823315073 | 21.4% |
0.852330280 | 3.40% |
0.853169121 | 0.09% |
  De lo cual concluímos que la aproximación a la raíz es:

Veremosa continuación un ejemplo del metódo de la secante, con la siguiente ecuación:

# | Xi | Xd | Fxi | Fxd | Nuevo Xm | Error |
1 | -3 | -2 | -14 | 6 | -2.3 | -0.3 |
2 | -3 | -2.3 | -14 | 1.533 | -2.51 | -0.21 |
3 | -2.51 | -2.3 | -2.323251 | 1.533 | -2.3207255520505 | -0.020725552050473 |
4 | -2.51 | -2.3207255520505 | -2.323251 | 1.1803871495748 | -2.395969027827 | -0.075243475776506 |5 | -2.395969027827 | -2.3207255520505 | -0.15043075408291 | 1.1803871495748 | -2.3460753250876 | -0.025349773037123 |
6 | -2.395969027827 | -2.3460753250876 | -0.15043075408291 | 0.74096319530987 | -2.3903292274407 | -0.044253902353135 |
7 | -2.3903292274407 | -2.3460753250876 | -0.04789074483039 | 0.74096319530987 | -2.3828609830056 | -0.036785657917969 |
8 | -2.3903292274407 |-2.3828609830056 | -0.04789074483039 | 0.087191294668852 | -2.3898758357919 | -0.0070148527863751 |
9 | -2.3898758357919 | -2.3828609830056 | -0.039667231209549 | 0.087191294668852 | -2.3873888543541 | -0.0045278713485732 |
10 | -2.3898758357919 | -2.3873888543541 | -0.039667231209549 | 0.0053886529350926 | -2.3890981847273 | -0.0017093303731688 |
11 | -2.3890981847273 | -2.3873888543541 |-0.025569238087972 | 0.0053886529350926 | -2.387593289098 | -0.00020443474381393 |
12 | -2.3890981847273 | -2.387593289098 | -0.025569238087972 | 0.0016883143877866 | -2.3878552371823 | -0.00026194808438618 |
13 | -2.3878552371823 | -2.387593289098 | -0.0030539102982061 | 0.0016883143877866 | -2.3876095139854 | -1.6224887400274E-5 |
Hemos terminado de analizar el método de la secante, en este ejemplocon un error de 0.0001; se encuentra la última raiz(Xm): -2.3876969957131 con 13 iteracciones.

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON.

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.
Supongamos que tenemos la aproximación  ...