Metodo de la secante

Metodo de la secante
Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de la derivada usando la siguiente aproximación:

Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos:

 
Que es la fórmula del método de la secante. Nótese que para poder calcular el valor de , necesitamos conocer  los dos valores anteriores    y  .
Obsérvese tambien, el gran parecidocon la fórmula del método de la regla falsa. La diferencia entre una y otra es que mientras el método de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados, el método de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo,  encuentra la aproximación casi con la misma rapidez que el método de Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de éste último de no converger a la raíz, mientras que el método dela regla falsa va a la segura. 
Ejemplo 1
Usar el método de la secante para aproximar la raíz de  , comenzando con  ,    y hasta que  . 
Solución
Tenemos que    y  , que sustituímos en la fórmula de la secante para calcular la aproximación  :

Con un error aproximado de:

Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:Aprox. a la raíz | Error aprox. |
0 |   |
1 | 100% |
0.612699837 | 63.2% |
0.653442133 | 6.23% |
0.652917265 | 0.08% |
De lo cual concluímos que la aproximación a la raíz es:
 

Ejemplo 2
Usar el método de la secante para aproximar la raíz de  , comenzando con    y  , y hasta que   . 
Solución
Tenemos los valores    y  , que sustituímos en la fórmula de lasecante para obtener la aproximación  :

Con un error aproximado de:

Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raíz | Error aprox. |
0 |   |
1 | 100% |
0.823315073 | 21.4% |
0.852330280 | 3.40% |
0.853169121 | 0.09% |
  De lo cual concluímos que la aproximación a la raíz es:

Veremos acontinuación un ejemplo del metódo de la secante, con la siguiente ecuación:

METODO DE LA SECANTE

MÉTODO DE LA SECANTE
En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los
ceros de una función de forma iterativa.
Es un método de tipo abierto, el cual requiere de dos puntos iníciales, los cuales pueden ser arbitrarios. Lo que hace básicamente, es trazar rectassecantes a la curva de la ecuación que se está analizando, y verificar la intersección de dichas rectas con el eje de las X para conocer si es la raíz que se busca.
Al ser un método abierto, converge con la raíz con una velocidad semejante a la de Newton-Raphson, aunque de igual forma corre el riesgo de no converger con esta nunca.
Su principal diferencia con el método de Newton-Raphson es queno se requiere obtener la derivada de la función para realizar las aproximaciones, lo cual facilita las cosas al momento de crear un código para encontrar raíces por medio de este método.
Consideremos la curva y=f(x), y la recta que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)). Si la función continua y=f(x) es tal que f(x)=0 posee una única raíz a en el intervalo (a,b), y f(a) y f(b) tienen signosopuestos, la cuerda AB cortará al eje OX en un punto X1 del intervalo (a,b), que junto con A ó B formará el nuevo intervalo (a1,b1).
El método de la secante consiste en ir aproximando el valor de la raíz buscada a mediante las sucesivas intersecciones con el eje OX de la cuerda que une dos puntos cuyas ordenadas son de signos distintos.
Este método, a diferencia del de bisección y reglafalsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando.
Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la
ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.

Una forma de evitar el cálculo de f '(x) consiste en considerar...