metodo de la secante

CAPÍTULO II: SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES – MÉTODO DE LA SECANTE

2.4 Método de la secante
El método de la secante es una variante del método de Newton, aproximando
f ′( xn ) por la pendiente de la recta, obteniéndose: e calcular. En dichos casos, la
derivada se puede aproximar mediante la pendiente de la recta secante, obteniéndose:
f ′( xn ) ≈

f ( xn ) − f ( xn −1 )
pendiente de larecta
xn − xn −1
f ( xn )
xn +1 = xn −
f ′( xn )
f (x )
xn +1 = xn − f ( xn ) − f nxn−1 )
(
xn − xn−1

xn +1 = xn − f ( xn )

xn − xn −1
fórmula de iteración para el método de la secante
f ( xn ) − f ( xn −1 )

(2.14)

La ventaja es que no hay que calcular la derivada de f ; esto es de gran ayuda en un
caso en que f ′ sea difícil de calcular.
En la ecuación (2.14) se puedeobservar que para iterar con el método de la secante
se requiere conocer dos aproximaciones iniciales x0 y x1 .
El método de la secante también esta ligado con el método de falsa posición, ya que
ambos comienzan con un intervalo y se basan en la fórmula de interpolación lineal, pero
el primero utiliza extrapolaciones y no necesariamente el intervalo encierra la raíz
buscada (lo que puedeprovocar divergencia en el método), mientras que el segundo
utiliza únicamente interpolaciones y el intervalo debe encerrar la raíz buscada (por lo
que el método siempre converge).
Al igual que el método de falsa posición, la aproximación a la raíz xn , se obtiene
con la intersección de la recta secante a la curva que une a los puntos ( x0 , f ( x0 )) y
( x1 , f ( x1 )) con el eje x y se denota comox2 ; proporcionando una mejor estimación de
la raíz. Sin embargo la diferencia entre ambos métodos radica en la forma en que uno de
los valores iniciales se reemplaza por la nueva aproximación, ya que en el método de la
secante se usan las dos últimas aproximaciones xn y xn +1 para obtener el nuevo
subintervalo en lugar de buscar el subintervalo que encierra a la raíz; (en consecuencia,algunas veces los valores del subintervalo están del mismo lado de la raíz). Entonces el
nuevo intervalo sería [ x1 , x2 ] , después se traza otra recta secante a la curva que une a los
puntos ( x1 , f ( x1 )) y ( x2 , f ( x2 )) . La nueva intersección de la recta secante con el eje x ,
se denota como x3 y se considera una mejor aproximación de la raíz. El proceso se
repite hasta que se cumplanlos criterios de convergencia de las ecuaciones (2.5), (2.6) y
(2.7).
En la figura 2.8 se muestra la representación gráfica del método de la secante.

MÉTODOS NUMÉRICOS I –

1

CAPÍTULO II: SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES – MÉTODO DE LA SECANTE
La intersección de la recta secante con el eje x se puede calcular de la siguiente
manera (Ver figura 2.8):

f ( x1)

θ
f ( x0 )

θ
Raízx2

x0

[
x3

x1 Primera iteración

]

x2

x1 Segunda iteración

Figura 2.8 Representación gráfica del método de la secante

catetoadyacente
catetoopuesto
x −x
x1 − x0
cot θ = 1 2
cot θ =
f ( x1 )
f ( x1 ) − f ( x0 )
x −x
⇒ 1 2 = f ( x1x1) − xf0( x0 )
−
f ( x1 )
cot θ =

x1 − x2 = f ( x1 )

x1 − x0
f ( x1 ) − f ( x0 )

− x2 = − x1 + f ( x1 )
x2 = x1 − f ( x1)

x1 − x0
f ( x1 ) − f ( x0 )

x1 − x0
f ( x1 ) − f ( x0 )

Para obtener la n -ésima intersección con el eje x de la recta secante a la curva, la
ecuación sería:
xn +1 = xn − f ( xn )

xn − xn −1
f ( xn ) − f ( xn −1 )

obteniendo la ecuación (2.14).

MÉTODOS NUMÉRICOS I –

2

CAPÍTULO II: SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES – MÉTODO DE LA SECANTE
Algoritmo 2.4.1 Método de lasecante Para encontrar una aproximación de la raíz, de
una ecuación f ( x) = 0 , conocidas dos aproximaciones iniciales x0 y x1 . Datos: f ( x) ,
dos aproximaciones iniciales x0 y x1 , una tolerancia Tol y un número máximo de
iteraciones N .

Resultados: Una raíz aproximada o un mensaje de falla.
Paso 1: Hacer n = 1 .
Paso 2: Mientras n ≤ N , repetir los pasos 3 a 11.
Paso 3: Calcular f (...