Metodo de pendiente

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN:
Ya vimos la forma general del método de la rigidez aplicado a modelos con resortes los cuales resultaban ser simplificaciones de las estructuras reales.  En los modelos con resortes expresábamos las ecuaciones de relación fuerza deformación simplemente como F=kΔ y como eran resortes estas deformaciones correspondían a alargamientos o acortamientos de los elementos.Para aplicar este método a cualquier tipo de estructura tenemos que hallar esas ecuaciones de relación fuerza-desplazamiento en función de cualquier tipo de desplazamiento que sufra un elemento dado, ya sea giro, alargamiento o desplazamiento relativo en los apoyos de tal manera que encontremos una relación general F=k* Δ donde k es la rigidez del elemento para cualquier desplazamiento.Adicionalmente se ha planteado que el método parte de escribir las ecuaciones de equilibrio en los nudos en la dirección de los grados de libertad libres.  Estas ecuaciones implican que las fuerzas estén aplicadas en los nudos y no en las luces.  Sería casi imposible decir que todas las estructuras que analicemos tendrán sus cargas aplicadas en los nudos, entonces la forma en que se analizan estasestructuras es considerar los elementos que la componen totalmente empotrados y encontrar los momentos de extremo producido por las cargas actuantes en la luz.  Una vez planteados estos momentos se sueltan los grados de libertad que son libres y se determina la modificación de estos momentos de extremo por el hecho de producirse los movimientos de estos grados de libertad. El trabajo a realizar es porsuperposición, donde el momento total en un extremo es la suma de los efectos de rotación y de los momentos de empotramiento debidos a las cargas.  Podemos expresar estos momentos como unos valores de rigidez de los elementos por cada uno de los movimientos, lo cual se muestra en el siguiente capitulo.
PLANTEAMIENTO DE LAS RIGIDECES DE LOS ELEMENTOS:
Partimos de un elemento tipo viga con todos susgrados de libertad restringidos
                     
Para plantear alguna ecuación en este tipo de viga tendríamos que tener algún grado de libertad libre y aquí no lo hay, entonces que tal si liberamos un grado de libertad y planteamos que sucede con las reacciones en los extremos.

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de donde        
expresemos el Ma en función de la rotación del extremo A
 
    
 
    y        
note que el hecho de liberar el extremo A produce un momento de reacción en B.
Se aplica lo mismo para el extremo B
Lo que hemos encontrado aquí no es mas que la rigidez del elemento a un movimiento de extremo, o sea el valor de k.
En el caso de tener un desplazamiento en uno de los extremos, o sea liberar el grado de libertad correspondiente a una reacción vertical, tendríamos:
 

donde ΔB corresponde a un desplazamiento perpendicular al elemento.
Podríamos definir una ecuación que contenga todos estos desplazamientos para hallar el momento de extremo de un elemento:

esta ecuación me esta asociando cada uno de los movimientos de extremo con el momento producido.
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO:
Para encontrar los momentos que se producen en los apoyos cuando tenemos unelemento totalmente empotrado aplicamos el método de las fuerzas :
Con estos planteamos las ecuaciones de compatibilidad y podemos encontrar las reacciones.  La solución se presentará en clase.
 

 

donde simplemente volvemos a expresar las rigideces de los elementos en forma matricial.
De aquí se pueden encontrar los momentos de empotramiento perfecto en función de los giros de extremo de loselementos estáticos.
Estos momentos de empotramiento se denominan MEP y son característicos para cada tipo de carga.
En el estado en que estamos tenemos ya unas ecuaciones de relación fuerza desplazamiento  resueltas en función de los giros de extremo de los elementos y unas ecuaciones de MEP.
Los pasos del método de rigidez vistos contemplan plantear las ecuaciones de equilibrio en...