Metodo De Runge-Kutta

MÉTODO DE RUNGE – KUTTA 
Sin entrar en mucho detalle, mencionamos solamente que el método de Runge-Kutta cambia la dirección en el sentido de que no sigue la misma línea de los métodos de Euler.De hecho está basado en una aplicación de los polinomios de Taylor.
Comentamos sin embargo, que el método de Runge-Kutta si contiene como casos especiales los de Euler. 
Las fórmulasdonde 
 
 
 
 
Se conocen como las reglas o fórmulas de Runge-Kutta deorden cuatro para la ecuación diferencial: 

Ejemplo 1
Usar el método de Runge-Kutta para aproximar dada la siguiente ecuación diferencial: 

 
Solución
Primero, identificamos el mismoejemplo 1 de los dos métodos anteriores. Segundo, procedemos con los mismos datos: 
 
Para poder calcular el valor de , debemos calcular primeros los valores de , , y . Tenemos entoncesque: 
 
 
 
 
 
Con el fin de un mayor entendimiento de las fórmulas, veamos la siguiente iteración: 
 
 
 
 


El proceso debe repetirsehasta obtener . Resumimos los resultados en la siguiente tabla: 
n | | |
0 | 0 | 1 |
1 | 0.1 | 1.01005 |
2 | 0.2 | 1.04081 |
3 | 0.3 | 1.09417 |
4 | 0.4 | 1.17351 |
5| 0.5 | 1.28403 |
Concluímos que el valor obtenido con el método de Runge-Kutta es: 
 
Finalmente, calculamos el error relativo verdadero: 
 
Con lo cual vemos que efectivamente se hareducido muchísimo el error relativo. De hecho observamos que tenemos 6 cifras significativas en la aproximación!
Ejemplo 2
Usar el método de Runge-Kutta para aproximar dada la ecuacióndiferencial: 

  Solución
Igual que siempre, tomamos y llegaremos a la aproximación en dos pasos.
Con esta aclaración, tenemos los siguientes datos:
 
Primera Iteración: 
 
 
 
 
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