metodo del trapecio

INTEGRACIÓN NUMÉRICA
REGLA TRAPEZOIDAL

Cálculo de áreas.
Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se
forma al graficar una función. Por ejemplo, se necesita calcular el área A que
aparece en la siguiente figura por debajo de la función f(x) entre los límites a y b:

Fig. 1

En donde la función f (x) y los valores a y b son valores conocidos. a seconsidera
como el límite inferior y b se considera como límite superior.
En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones:




Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el área
solicitada.
Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área.

Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque sonexactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible (difícil)
obtener la solución algebraica, por lo que una solución numérica permite ahorrar
tiempo.

REGLA TRAPEZOIDAL O REGLA TRAPECIAL.
La Fig. 2 muestra de color verde como sería el cálculo del área bajo la curva de la
función f (x) entre los límites a y b si se dividiera dicha subarea en un solo trapecio.
El error quese cometería sería demasiado grande con respecto al área real que se
desea obtener. Dependiendo de la forma de la curva el error que se cometería
sería por exceso o por defecto. En el caso del ejemplo, el error seria por defecto,
es decir el valor que arroje el cálculo de la integral será menor al valor real del
área.

Fig. 2

Si se divide el intervalo (área a calcular) en más de una subárea, en el caso de la
Fig. 3 (dividida en 3 sub áreas), el error en el cálculo de la integral o área total,
se disminuye.

Fig. 3

La estrategia más simple y que evitaría menor error en el cálculo, consiste en
subdividir el intervalo pedido para el cálculo del área en n sub intervalos pequeños
tamaño y aproximar el área como la suma de las áreas de cada uno de los trapecios
que se forman:Fig. 4

De la Fig 4 se puede deducir que dx = (b − a) / n. Si n es suficientemente grande
(delta sería suficientemente pequeño), el área de los trapecios será
aproximadamente el área pedida. El área total que correspondería a la suma del
área de cada uno de los trapecios se calcula de la siguiente forma:

 Se determinan los puntos del eje x que delimitarán cada trapecio. Estos
puntosson:
xi= a+i*dx, con i= 0, 1, 2, ..., n
 Se evalúa la función f en cada uno de los puntos Xi:
yi= f(xi), i= 0, 1, 2, ..., n
 Se calcula el área de cada trapecio como:
ai= (yi+y(i+1))*dx/2, i= 0, 1, 2, ..., n-1
Se suman las áreas de cada uno de los trapecios.
DEDUCCION DEL MÉTODO DEL TRAPECIO: (Deducción del método desde los
Polinomios de Interpolación)
Corresponde al caso donde n=1, esdecir:
𝑏

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∫ 𝑓1 (𝑥)𝑑𝑥
𝑎

𝑎

Donde f1(x), es un polinomio de interpolación (obviamente de grado 1) para los
datos:
x
y

a
f(a)

b
f(b)

Del capítulo de interpolación y observando la Fig. 5, se sabe que este polinomio
de interpolación puede expresarse mediante la expresión:

f (b) − f (a)
f (x) − f (a)
=
b−a
x−a

Integrando este polinomio:

Por lo tanto,se tiene que:

Que es conocida como la Regla del Trapecio. Este nombre se debe a la
interpretación geométrica que se le puede dar a la fórmula. El polinomio de
interpolación para una tabla que contiene dos datos, es una línea recta. La
integral, corresponde al área bajo la línea recta en el intervalo [a,b], que es
precisamente el área del trapecio que se forma.

Fig. 6

DESARROLLO DELMODELO
La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de
Newton-Cotes.
Considérese la función f (x), cuya gráfica entre los límites x = a y x = b se
muestra en la Fig. 7. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se
obtiene dividiéndola en n subareas de ancho ∆X y aproximando el área de cada
una de las secciones mediante un trapecio, como se indica en la...