Metodo numericos

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL.

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA ZACATENCO.

INGENIERIA ELECTRICA.



Métodos Numéricos.

Juan Carlos Jiménez Martínez.

3E6V

13 de septiembre de 2010.

CONTENIDO.

INTRODUCCION. …………………………………………………………………………….3

OBJETIVO. ……………………………………………………………………………………….5

DESARROLLO. …………………………………………………………………………………6CONCLUSIONES. ……………………………………………………………………………19

BIBLIOGRAFIA. ………………………………………………………………………………20

INTRODUCCION.

Método de la Secante

El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más útilemplear el método de la secante.
El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión:
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Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, obtenemos la expresión del método de la secante que nos proporciona el siguiente punto deiteración:
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Figure: Representación geométrica del método de la secante. |
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En la siguiente iteración, emplearemos los puntos x1 y x2para estimar un nuevo punto más próximo a la raíz de acuerdo con la ecuación. En la figura se representa geométricamente este método.
En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el método deNewton-Raphson explicado anteriormente.

Método de Newton - Raphson.
En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de suprimera derivada.

* Descripción del método.
La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función.Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen. Supóngase f: [a, b] → R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n.
Xn+1 = Xn- (f(Xn) / f ‘ (Xn)).
Donde f ‘denota la derivada de f.

Figure: Representación geométrica del método de Newton - Raphson. |
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OBJETIVO.

* Demostrar que los métodositerativos para la solución de ecuaciones o sistemas de ellas, pueden llegar a ser útiles y eficientes, si se les da el enfoque o la funcionalidad necesarios.

* Ayudar al entendimiento de las diferencias entre los métodos directos de solución de ecuaciones y los métodos iterativos.

* Comprender y conoces las ventajas y desventajas de los métodos iterativos en comparación con losmétodos tradicionales o directos.

DESARROLLO.
MÉTODO DE LA SECANTE.

Formula General:
Xi+1=Xi-Xi-1-XiF(Xi-1)-F(Xi)F(Xi)

Ejercicio A.

Fx=xlogx-10
X0=8.5 X1=9.5
Tol=1×10-3

* Iteración No. 1

i=1
FXi-1=FX0=8.5log8.5-10=-2.09993
FXi=FX1=9.5log9.5-10=-0.71162

X2=9.5-8.5-9.5-2.09993+0.71162-0.71162

X2=10.01258

ϵa=abs9.5-10.012589.5×100

ϵa=5.39557%

* IteraciónNo. 2

i=2
FXi-1=FX1=9.5log9.5-10=-0.71162
FXi=FX2=10.01258log10.01258-10=0.01804

X3=10.01258-9.5-10.01258-0.71162-0.018040.01804

X3=9.99991

ϵa=abs10.01258-9.9999110.01258×100

ϵa=0.12657%
* Iteración No. 3

i=3
FXi-1=FX2=10.01258log10.01258-10=0.01804
FXi=FX3=10.02525log10.02525-10=-0.00012

X4=9.99991-10.01258-9.999910.01804+0.00012-0.00012

X4=9.99999
La solucion...