metodo simplex




El método Simplex básico
El método Simplex, introducido en su forma original por Spendley; Hext y Himsworth, en 1962, no se basa en planeamientos factoriales y por eso requiere pocos experimentos para moverse, desplazándose en la dirección del óptimo. La aplicación del método Simplex en Química Analítica fue efectuada por la primera vez en 1969. El método Simplex original, a lo largo deestos años, há sufrido modificaciones que obligaron a la distinción del mismo dentro de las estrategias de optimización, así el método Simplex original pasó a ser llamado de Método Simplex Básico (MSB).

El procedimiento de optimización, en el método Simplex, comienza por la elección de la n+1 puntos donde será hecha la evaluación de la respuesta. Este resultado será evaluado contra las demásrespuestas para que el proceso pueda continuar, siendo que este tipo de desarrollo convierte al simplex en un método del tipo secuencial
.
El procedimiento es repetido sucesivamente, descartándose la peor respuesta. Por lo tanto, como vemos, el objetivo del método Simplex secuencial es forzar al simplex a moverse para la región de respuesta óptima.
Las decisiones requeridas para que eso seaposible constituyen las llamadas "reglas" del procedimiento simplex

REGLAS PARA EL MOVIMIENTO DEL SIMPLEX BÁSICO

Regla nº 1: Después de determinar las respuestas de los n+1 experimentos necesarios para iniciar el proceso, con base en el conocimiento ya adquirido sobre el sistema, se debe clasificarlas en mejor, peor y resultados intermediarios, según el objetivo de la optimización.

Regla nº 2:El simplex es movido para un simplex adyacente, el cual es determinado descartando la respuesta menos deseada. El vértice correspondiente a esta respuesta es sustituido por un nuevo vértice, generado por su reflexión a través del centroide de la hiperfase de los vértices restantes.

Matemáticamente, sí los vértices de un simplex k-dimensional son representados por coordenadas vectoriales P1,P2, ...., Pj, ....Pk, .... Pk+1, la eliminación de la respuesta no deseada Pj resulta en la hiperfase formada por P1, P2, ...., Pj-1, Pj+1, ....Pk, .... Pk+1 con el centroide definido por:
Pc = 1/k (P1 + P2 + .... + Pj-1 + Pj+1 + .... + Pk + Pk+1)
Pc = centroide de la hiperfase K = número de dimensiones del simplex Pj = vértice correspondiente a la peor respuesta.

El nuevo simplex es definidopor esta fase y un nuevo vértice, P, que corresponde a la reflexión del vértice rechazado Pj, a través de la fase por el centroide Pc.
P = Pc + (Pc - Pj)

Regla nº 3: Sí el punto reflejado, P, tuviera la peor respuesta en el nuevo simplex, probablemente el desplazamiento no está sucediendo en dirección al óptimo. En este caso, se debe rechazar la 2ª peor respuesta de este simplex y continuar conla optimización.

Esta regla es necesaria, pues el simplex puede estar encima de una cresta y la aplicación directa de la Regla no 2 puede hacer con que el punto P sea reflejado de vuelta al punto anterior. En este caso el simplex oscila y se vuelve sin recurso (decimos, que se mantiene parado).

Esta situación sucede con frecuencia en la región del óptimo. Sí un punto es obtenido cercano aél, todos los otros nuevos puntos tienden a pasar más allá del tope de la curva de respuesta. Entonces, un cambio en la dirección es indicado. En la región del óptimo, normalmente ocurre el simplex circular en vuelta de un óptimo temporáneo. Como se puede tratar de un resultado falso, el cual hace, con que el simplex se prenda a él, es necesario la siguiente excepción adicional a la Regla no 1.Regla nº 4: Sí un vértice fuera mantenido en k+1 simplex, antes de aplicar la Regla no 2, haga una nueva observación del vértice persistente. Sí el vértice está realmente cercano al óptimo, es probable que la evaluación repetida de la respuesta sea consistente y de esta forma el punto será mantenido. Sí la respuesta en el vértice fuera alta por causa de un error de observación, es improbable que...