Metodos de integracios

(Métodos de Integración)

I. Integración por sustitución:

Es el método más utilizado para la integración. La integración por sustitución  se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral.

Pasos:
1. Se realiza el cambio de variable para transformarla en una más sencilla.

(x2+2)2 x dx
u=(x+2)2. Luego derivamos la variable que cambiamos y despejamos dx para poder remplazar en la integral.
du= 2x dx x dx= du/2

3. Remplazamos en la integral principal y obtenemos una integral mas fácil y procedemos a la integración.
u2 du2
4. Una vez realizado todo este procedimiento Resolvemos en ocasiones la integral puede ser resuelta directamente, si es una integral de tabla.12(u)2du 12*(u)23+c
5. Finalmente cambiamos por su variable original
(x2+2)26+c

II. Integración por partes:
El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Pasos:
1. Derivamos
Primero observamos cual parte es más fácil de derivar y cual parte es más fácil de integrar.
Integramos

x sec2 x dx
2.Derivamos e Integramos cada parte
Derivación Integración
u= x dv= sec2 x dx
du= dx v= tan x
3. Una vez realizado la derivación e integración Aplicamos la formula
x sec2 x dx = xtanx-tanx dx
4. Finalmente resolvemos, en ciertos casos es necesario hacer otra integración por partes para llegar a una integral más fácil.
x sec2 x dx = xtanx- In /secx /+ C

III. Integralestrigonométricas
1. Integral de a forma senm x cosn x dx
Pasos para analizar una integral trigonométrica:
* Si n pertenecen a los reales y son números pares , entonces reducimos los exponentes de sen2x y cos2x usando formulas para mitad de ángulo
cos2x=12(1+cos2x)
sen2x=12(1-cos2x)
* Si n es impar, se escribe la integral así:
senm x cosn x dx = senm x cosn-1 xcosx dx
Utilizamos: cos2x=(1-sen2x)
* Si m pertenece a los reales y es impar; escribimos la integral de la forma
senm x cosn x dx = senm-1 x cosn xsenx dx
Utilizamos: sen2x=(1- cos2x)
2. Integral de a forma tanm x secn x dx
Pasos para analizar una integral trigonométrica:
* Si m y n pertenecen a los reales y son números pares , entonces escribimos la ecuación así:
tanm x secn x dx = tanm x secn-2 xsec2xdx
Expresamos: secn-2x en función de tan2x
sec2x = (1- tan2x)
* Si m es impar, se escribe la integral así:
* tanm x secn x dx = tanm-1 x secn-1 xsecxtanx dx
Utilizamos: tan2x=(secx-1)
* Si m par y n impar debemos utilizar otro camino de integración por ejemplo integración por partes.
Pasos para resolver:

cos3x sen4x dx
1. Observamos los exponentes y analizamos si sonpares o impares, para luego aplicar una de las reglas, en este caso cos3x esta con exponente impar por lo tanto debemos restarle 1 al exponente (cos3-1x )y multiplicarlo por cosx quedándonos así la integral:
cos3x sen4x dx= cos2x sen4xcosx dx
2. Luego desarrollamos la integral así:
cos2x sen4xcosx dx= (1- sen2x) sen4xcosx dx
= sen4x- sen6x cosx dx= sen4x- sen6x cosx dx
= sen4x cosx- sen6x cosx dx
=15sen5x-1 7 sen7x+C

IV. Sustitución trigonométrica
a2-x2 x= a sen θ
a2+x2 x= a tan θ
x2-a2 x= a sec θ

Pasos:
1. Se observa si la integral contiene una función de la forma a2-x2 o una de las anteriores en su estructura:
1x216-x2 dx
2. En este ejercicio se observa quedentro del radical es de la forma a2-x2 por lo q la sustitución debe ser x= a sen θ de acuerdo a la tabla.
1x216-x2 dx
Donde:
a = 4
Procedemos al remplazo y encontramos la derivada
x = 4 sen θ
dx= 4 cos θ dθ

3. Ahora Colocamos los datos y tenemos la siguiente integral:

4cosθ 16 sen2θ 16-16 sen2θ dθ

4. Desarrollamos la integral

1161 cosθsen2θ 1-sen2θ...