metodos elementales de integracion

Ecuaciones en variables separadas
Estudiamos ecuaciones diferenciales de primer orden en las que las
variables dependiente e independiente aparecen separadas de la siguiente
forma:
x
0
(t) =f(t) g(x(t)). (1.1)
Formalmente, el método de resolución de este tipo de ecuaciones diferenciales
pasa por dividir la ecuación por g(x) e integrar con respecto a la
variable t, es decir,
Z t
t0
x0
(s)
g(x(s)) ds =
Z t
t0
f(s) ds =
Z x
x0
dy
g(y)
. (1.2)
12
Obsérvese que hemos empleado para ello el cambio de variable y = x(s)
y hemos asumido el dato inicial x(t0) = x0.
Elresultado riguroso de existencia y unicidad de solución para el P.V.I.
asociado a la ecuación (1.1) es el siguiente:
Teorema 1. Sean f : (a, b) → R y g : (c, d) → R funciones continuas tales
que g(x) 6=0 ∀x ∈ (c, d). Entonces, para toda condición inicial
(t0, x0) ∈ (a, b) × (c, d)
existe una única solución de (1.1) que verifica x(t0) = x0.
Demostración. Definimos Φ : (a, b) × (c, d) → R de lasiguiente forma:
Φ(t, x) = Z x
x0
dy
g(y)
−
Z t
t0
f(s) ds.
Claramente
1. ∂Φ
∂t = −f(t) y
∂Φ
∂x = 1
g(x)
en virtud del teorema fundamental del
cálculo, luego Φ ∈ C
1
((a, b) × (c, d)),2. Φ(t0, x0) = 0.
Entonces por el teorema de la función implícita se concluye la existencia
de una única función x : I → R (con t0 ∈ I) tal que
1. x(t0) = x0,
2. x(t) ∈ (c, d),
3. Φ(t, x(t)) = 0para todo t ∈ I.
Además
x
0
(t) = −
1
1/g(x)

− f(t)


= f(t)g(x),
por lo que x(t) es la única solución del problema de valores iniciales (1.1).

Observación 1. La hipótesis g(x) 6= 0∀x ∈ (c, d) es demasiado restrictiva.
Si g se anulara en algún punto, en general se mantiene la existencia de
solución pero se pierde la unicidad. 
Analizamos a continuación algunosejemplos.Ecuaciones en variables separadas 3
Ejemplos 1.
(a) Consideramos el siguiente P.V.I.

x
0 = tx
x(t0) = x0
.
En este caso f(t) = t y g(x) = x. Es evidente que f , g ∈ C(R). Por otro
lado, si...