Metodos numericos 2 (analisis numerico)

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
UNIVERSIDAD ALEJANDRO DE HUMBOLDT
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA
CATEDRA: ANALISIS NUMÉRICO

Autor: Ernesto Flames
Sección: D-063

Caracas, Mayo del 2009
Método de Newton-Raphson

Este método es eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de unafunción real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
Ventajas
Es uno de los más usados y efectivos.
Desventajas
- Lenta convergencia debida a la naturaleza de una función en particular.
- Cuando un punto de inflexión, f’’(x) = 0, ocurre en la vecindad de una raíz.
- No existe un criterio general de convergencia.-Se necesita tener un valor suficientemente cercano a la raíz.
-Se necesita conocimiento del problema físico y apoyarse en la grafica.
- Evaluación de la derivada. Se dice que es un método lento por tenerla.
Formula

Algoritmo
Set i = 1
 
While i <=  N0  do Steps 3-6
 
Find x = x0 - f(x0) / f'(x0)
         
If |x -  x0 | < T
                                Then OUTPUT(x); STOP.
                      
Set i = i+1  
         
Set  x0 = x
                                       
OUTPUT("El método falló luego de N0 iteraciones').
                STOP 

El método de Newton-Raphson utiliza una aproximación de la pendiente la cual consiste en encontrar la derivada de la función y así aplicarla en la ecuación que se encuentra más arriba. El principalproblema radica en que encontrar esa derivada para una función f(x) es muy difícil, sin contar que esta a veces puede ser cero.

Polinomio de Newton y/o diferencias divididas

Es la interpolación polinómica de un conjunto dado de puntos de datos en la forma de Newton. El polinomio de Newton es a veces llamado Newton dividió diferencias interpolación polinómica porque los coeficientes del polinomio secalculan utilizando las diferencias divididas. Uno de los principales usos de la interpolación ha sido el de hallar valores intermedios a los calculados en tablas trigonométricas.

Definición
Dados  datos:

Formula general:

donde:

   Para calcular los coeficientes   , es conveniente construir una tabla de diferencias divididas como la siguiente:

Algoritmo
función y= newtonInterpolation (X, Y, X)
% interpolate values y at points x using data vectors X and Y % Interpolar los valores y en los puntos x utilizando datos vectores X e Y
n = length ( X ) ; n = longitud (X);
% build coefficient tableau % Coeficiente de construir cuadro
D = diag ( Y ) ; D = diag (S);for m = 1 :n para m = 1: n
for i = 1 :nm i = 1: nm
j = i +m; i + j = m;
D ( i , j ) = ( D ( i +1 , j ) -D ( i ,j -1 ) ) / ( X ( j ) -X ( i ) ) ; D (i, j) = (D (i +1, j)-D (i, j -1)) / (X (j)-X (i));
end final
end final
% return final value % Valor finalde retorno
y = Y ( 1 ) * ones ( size ( x ) ) ; y = Y (1) * (por el tamaño (x));
for k = 2 :n para k = 2: n
s = D ( 1 ,k ) ; D s = (1, k);
for i = 1 :k -1 i = 1: k -1
s = s. * ( xX ( i ) * ones ( size ( x ) ) ) ; s = s. * (xX (i) * (por el tamaño (x)));
endfinal
y = y+s; y = y + s;
end final
end final

Interpolación Cuadrática

Teniendo tres puntos como datos X0, X1 ^ X2. La interpolación cuadrática consiste en conectarlo con en polinomio de segundo orden (una parábola) de la siguiente manera:
b0 = f(x0)
b1 =
b2 =
f2 (x) = b0 + b1 (x - x0) + b2 (x - x1)
Como en la...