Metodos numericos para encontrar raices

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Métodos numéricos para encontrar raíces

Método de la bisección
Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos,el valor cero sería un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(a)=0.
El método consiste en lo siguiente:
* Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]
* A continuación se verifica que
* Se calcula el puntomedio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
* En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b)
* Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo
* Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamenteencerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada
En la siguiente figura se ilustra el procedimiento descrito.
El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz def. De hecho, una cota del error absoluto es:

en la n-ésima iteración. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo.
Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue siendo convergente pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz converge el método.
Método del puntofijo
El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma x = g(x).
El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de x, que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que ocurra convergencia, la derivada (dg / dx) debe ser menor que 1 en magnitud (al menos paralos valores x que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en x de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad €.

Método de la secante
Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definiciónde derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.
En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz deinvestigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f
El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xn−1, f(xn−1)) y (xn, f(xn)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función. En la imagen de arriba a la derecha se toman los puntos iniciales x0 y x1, se construye una línea por lospuntos (x0, f(x0)) y (x1, f(x1)). En forma punto-pendiente, esta línea tiene la ecuación mostrada anteriormente. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia, xn+1, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la fórmula, y un nuevo valor. Seguimos este proceso, hasta llegar a un nivel suficientemente alto de precisión (una diferencia lo...
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