metodos numericos

MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIDAD 6. SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DIFERENCIALES
MÉTODOS DE UN PASO: EULER, HEUN Y RUNGE – KUTTA.
Presenta: Ing. Raymundo Flores Delgadillo

INTRODUCCIÓN
Si una ecuación contiene las derivadas de una o más variables dependientes
con respecto a una o más variables independientes se dice que es una
ecuación diferencial.
Cuando la función incluye una variableindependiente, se le llama Ecuación
Diferencial Ordinaria, en contraste con las ecuaciones diferenciales parciales
que comprenden dos o más variables independientes.
3

dy
dy dy
d 2 y  dy 
 4 y  5, 
 1, 2  3   y  x
dx
dx dx
d x  dx 

Ordinarias:

Parciales:

x
y y
 
y
x z

Caso general:

dy
 f  x, y 
dx

INTRODUCCIÓN
Una solución de una EDO es unafunción específica de la variable
independiente y de sus parámetros que satisfacen la ecuación diferencial
original. Para EDO de 1er orden, a un tipo de condición auxiliar se le llama
valor inicial y es necesaria para determinar la constante de integración y
obtener una solución única.

EDO de n-ésimo orden

-> n condiciones para una solución única.

Problema de valor inicial

-> Todas seespecifican en el mismo valor de la
variable independiente, ejemplo: x = 0.

Problema de valor en la frontera -> Las condiciones ocurren en valores
diferentes de la variable independiente.
NOTA: Utilizar procedimientos numéricos es obtener una sucesión de puntos
cuyas coordenadas aproximen las coordenadas de los puntos de la función que
efectivamente es la solución.

MÉTODOS DE UN PASODedicados a la solución de EDO de la forma:

dy
 f  x, y 
dx

Bajo el siguiente esquema general:
Valor actual = valor anterior + pendiente * tamaño del paso

O bien:

yi 1  yi  h

Se usa la aproximación a la pendiente  para extrapolar a partir de un valor
anterior yi a un valor actual yi+1 en una distancia h.

Se aplica paso a paso para calcular una solución en un puntodado, y de aquí,
trazar la trayectoria de la función solución.
NOTA: De método a método la única diferencia está en el cálculo de la
pendiente.

MÉTODO DE EULER O EULER-CAUCHY O PENDIENTE PUNTUAL O
DE LAS TANGENCIAS
Dada una EDO:

dy
 f  x, y 
dx

Una condición inicial:

f ( x0 )  y0

y el valor de la pendiente en un punto i:

Se tiene: M 
Forma general:

Ejercicio 1:Ejercicio 2:

M i  f i ( xi , yi ),

i  0,1,2,...., n.

y1  y0
 f 0 ( x0 , y0 )  y1  y0  f 0 ( x0 , y0 )( x1  x0 )  y0  f ( x0 , y0 )h
x1  x0

yi 1  yi  fi ( xi , yi )h
dy
 2 xy, f (0)  1, f (0.4)  ?, h  0.1
dx

f ( x, y)  2x 3  12x 2  20x  8.5

h  0.1, f (0)  0, f (0.5)  ?

MÉTODO DE
PROMEDIO

HEUN

O

EULER

m1  m2 f ( x0 , y0 )  f ( x1 ,y1* )
mp 

2
2

MEJORADO

O

TANGENTES

Donde:
*
y 1  y0  f ( x0 , y0 )h
*
f ( x0 , y0 )  f ( x1 , y1 )
y1  y0  m p h  y0 
h
2

Forma general:

yi*1  y i  f ( xi , yi )h
f ( xi , yi )  f ( xi 1 , yi*1 )
yi 1  yi 
h
2

Ejercicio 1:

Ejercicio 2:

dy
 2 xy, f (0)  1, f (0.4)  ?, h  0.1
dx

f ( x, y)  2x 3  12x 2  20x  8.5

h  0.1, f(0)  0, f (0.5)  ?

MÉTODOS DE EULER Y HEUN:
Resultado Ejercicio 1:

dy
 2 xy, f (0)  1, f (0.4)  ?, h  0.1
dx

Euler: f(0.4) = 1.1244
Euler mejorado: f(0.4) = 1.1732

Analítico: f(0.4) = 1.1735

CARACTERÍSTICAS:
- Funcionan para puntos muy cercanos.
- Los valores más exactos siempre están al principio.
- El error se puede reducir desminuyendo el tamaño del paso.
- Elmétodo proporciona predicciones libres de error si la función solución es
lineal, ya que la 2da derivada de una línea recta es cero.
NOTA: Los métodos de Euler simple, y Euler mejorado son versiones de una
clase más amplia de esquemas de un paso llamados métodos de Runge - Kutta.

MÉTODO DE RUNGE – KUTTA DE CUARTO ORDEN

Los métodos de R-K tienen la exactitud del esquema de la serie de Taylor...