Metodos Numericos

La serie de Taylor
Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas, en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función esta dado por:

f ( x ) = f ( a ) + f ' (a )( x − a ) +

f ' ' (a ) f ' ' ' (a) f n (a ) ( x − a)2 + ( x − a )3 + ... + ( x − a)n 2! 3! n!

Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso h = xi+1 - xi expresandola serie de Taylor como: f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ' ( xi )h + f ' ' ( xi ) 2 f ' ' ' ( xi ) 3 f n ( xi ) n h + h + ... + h 2! 3! n!

Uso de la expansión en serie de Taylor para aproximar una función con un número infinito de derivadas. Utilizar los términos de la serie de Taylor con n= 0 hasta 6 para aproximar la función f(x) = cos(x) en xi+1 = π/3 y sus derivadas en xi = π/4. Esto significaque h = π/3- π/4 = π/12, los valores de las derivadas y el error de aproximación se presenta en la siguiente tabla. Orden n 0 1 2 3 4 5 6 fn(x) cos(x) -sen(x) -cos(x) sen(x) cos(x) -sen(x) -cos(x) fn(π/4) 0.707106781 0.521986659 0.497754491 0.499869147 0.500007551 0.500000304 0.499999988 error (%) -41.4 -4.4 0.449 2.62x10-2 -1.51x10-3 -6.08x10-5 2.40x10-6

Note, que a medida que se introducen mástérminos, la aproximación se vuelve más exacta y el porcentaje de error disminuye. En general podemos tener una aproximación polinomial de la función coseno, con sus derivadas en cero dada por Orden n 0 1 2 3 4 5 6 7 fn(x) cos(x) -sen(x) -cos(x) sen(x) cos(x) -sen(x) -cos(x) sen(x) 127 fn(0) 1 0 -1 0 1 0 -1 0

8 9 10 La aproximación polinomial final queda:

cos(x) -sen(x) -cos(x)

1 0 -1f ( x) = 1 − La implementación en Java es:
class funciones {

1 2 1 4 1 6 1 8 1 10 x + x − x + x − x + ... 2 4! 6! 8! 10!

public static double coseno(double x) { int i; double s = 0; int signo = 1; for(i=0; i=0; i--) p = p*x + a[i]; return p; } public static double EvaluaDerivada(double a[], double x) { int n = a.length, i; double df = 0; for(i=n-2; i>=0; i--) df = df*x + a[i+1]*(i+1);return df; } public static void DivisionSintetica(double a[], double b[], double s) { int n = a.length, i; b[n-1] = a[n-1]; for(i=n-2; i>=0; i--) b[i] = a[i] - b[i+1] * s; for(i=n-1; i>0; i--) System.out.print(b[i] + " "); System.out.println( "residuo = " + } } Regresar. b[0]);

Método de Müller.

150

El método de la secante obtiene raíces de una función estimando una proyección de una línearecta en el eje de las x, a través de los valores de la función. El método de Müller, trabaja de manera similar, pero en lugar de hacer la proyección de una recta utilizando dos puntos, requiere de tres puntos para calcular una parábola. Para esto necesitaremos de tres puntos [x0, f(x0)], [x1, f(x1)] y [x2, f(x2)]. La aproximación la podemos escribir como: f2(x) = A(x – x2)2 + B(x – x2) + C Loscoeficientes de la parábola los calculamos resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones. f2(x0) = A(x0 – x2)2 + B(x0 – x2) + C f2(x1) = A(x1 – x2)2 + B(x1 – x2) + C f2(x2) = A(x2 – x2)2 + B(x2 – x2) + C De la última ecuación podemos ver que el calor de C = f2(x2). Sustituyendo los valores de C en las otras dos ecuaciones tenemos f2(x0)- f2(x2) = A(x0 – x2)2 + B(x0 – x2) f2(x1) - f2(x2) = A(x1 –x2)2 + B(x1 – x2) Si definimos h0 = x1 - x0 h1 = x2 – x1 d0 = [f(x1) – f(x0)]/[x1 – x0] d1 = [f(x2) – f(x1)]/[x2 –x1] Sustituyendo en las ecuaciones tenemos -(d0* h0 + d1* h1)= A(h1 + h0 )2 - B(h1 + h0 ) -d1* h1 = A(h1)2 - Bh1 La solución de este sistema de ecuaciones es: A = (d1 – d0)/(h1 + h0) B = Ah1 + d1 C = f(x2) Ahora para calcular la raíz del polinomio de segundo grado, podemos aplicar laformula general. Sin embargo, debido al error potencial de redondeo, usaremos una formulación alternativa.

151

Ejemplo. Use el método de Müller con los valores iniciales de 4.5, 5.5 y 5 para determinar la raíz de la ecuación f(x) = x3 – 13x – 12. x0 4.50000 5.50000 5.00000 3.97649 x1 5.50000 5.00000 3.97649 4.00105 x2 5.00000 3.97649 4.00105 4.00000 f(x0) 20.62500 82.87500 48.00000 -0.81633...