Metodos Numericos

Capítulo 1: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO NUMÉRICO.
Capítulo 1.1. EL OBJETIVO DEL CÁLCULO NUMÉRICO.
Dado un problema matemático, el objetivo del Cálculo Numérico es obtener el valor numérico de la solución. Este objetivo tiene dos aspectos fundamentales: a) Encontrar un método factible para determinar la solución numérica (métodos numéricos). b) Analizar tanto el método como la solución calculada(análisis numérico). Capítulo 1.1.1. MÉTODOS NUMÉRICOS: El Cálculo Numérico, que es esencialmente una rama de las Matemáticas, difiere de las Matemáticas tradicionales en poner su énfasis central en las necesidades del Cálculo Numérico. En particular, un método numérico factible debe tener las siguientes propiedades: • Debe ser eficiente • Debe contener un número finito de operaciones En lasmatemáticas tradicionales es típico que los métodos se describan por argumentos académicos o conceptuales que suelen ser poco eficientes desde el punto de vista de la implementación. Un ejemplo puede ser la regla de Cramer para calcular un sistema de ecuaciones lineales basada en el cálculo recursivo de determinantes: Un sistema de Cramer es un sistema A· X rango n , es decir, tal que A ≠ 0 con la forma:= B de n ecuaciones con n incógnitas y

a11· x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + ... + a1n · xn = b1 a21· x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + ... + a2 n · xn = b2 a31· x1 + a32 · x2 + a33 ·x3 + ... + a3n · xn = b3 ... an1·x1 + an 2 · x2 + an 3 · x3 + ... + ann · xn = bn

Alberto Suárez López

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Universidad de Oviedo MÉTODOS NUMÉRICOS Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica en Informática deOviedo (E.U.I.T.I.O) En el cual la solución del sistema, es decir, los valores de x1 , x 2 , x 3 ,…, x n , vienen dados por la expresión:

b1 b2 b3 x1 = A11·b1 + A21·b2 + A31·b3 + ... + An1·bn = A

a12 a22 a32

a13 ... a1n a23 ... a2 n a33 ... a3n an 3 ... ann A a13 a23 a33 ... a1n ... a2 n ... a3n

... bn an 2 a11 b1

a21 b2 a31 b3 x2 = A12 ·b1 + A22 ·b2 + A32 ·b3 + ... + An 3 ·bn = A ...an1 bn a11 a21 a31 ... an1 a12 a22 a32 an 2

an 3 ... ann A b1 ... a1n b2 ... a2 n b3 ... a3n bn ... ann A

x3 = ...

A13 ·b1 + A23 ·b2 + A33 ·b3 + ... + An 3 ·bn = A

a11 a21 a31 xn = A1n ·b1 + A2 n ·b2 + A3n ·b3 + ... + Ann ·bn = A ... an1

a12 a22 a32 an 2

a13 ... b1 a23 ... b2 a33 ... b3 an 3 ... bn A

Para un sistema de n ecuaciones hay que resolver n + 1 determinantes. Cadauno de esos determinantes se calcularía por adjuntos de una línea, lo cual conllevaría a realizar, por cada uno de esos determinantes, n determinantes de dimensión n − 1 , así sucesivamente hasta llegar a determinantes de dimensión la unidad, con lo cual se habrán realizado (n + 1)! determinantes. Para ilustrar el ejemplo, el caso de un sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas supondría realizarun total de 11! = 39.916.800 determinantes. Así decimos que un método es eficiente en relación con otro cuando su implementación supone un número considerablemente menor de operaciones con respecto al otro método. Alberto Suárez López Página 2

Universidad de Oviedo MÉTODOS NUMÉRICOS Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica en Informática de Oviedo (E.U.I.T.I.O) En algunos de los métodos queestudiaremos (resolución de ecuaciones no lineales), la solución del problema se obtendrá como límite de una sucesión de números reales, es decir, mediante un proceso infinito; pero en la práctica, al implementar tales métodos debemos reemplazar el proceso infinito por uno finito, es decir, con un número finito de operaciones. De esta manera tendremos una solución aproximada. Capítulo 1.1.1.1.ANÁLISIS NUMÉRICO: Es probable que una de las partes más importantes en el análisis numérico sea el estudio del error entre la solución calculada aproximada y la verdadera solución. Capítulo 1.1.1.2. ERROR ABSOLUTO: Viene dado por la expresión e a calculada. Capítulo 1.1.1.3. ERROR RELATIVO: Viene dado por la expresión e r =

= x − x * , siendo x la solución exacta y x * la solución

ea . x...