Metodos Numericos

ERRORES EN LA SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Ángel N. Menéndez Jefe del Departamento de Modelos Matemáticos y Estudios Especiales INSTITUTO NACIONAL DE CIENCIA Y TÉCNICA HÍIDRICAS Laboratorio de Hidráulica Aplicada

Informe LHA - 064-004-88 Ezeiza, mayo de 1987

RESUMEN
En este apunte se desarrollan los conceptos fundamentales sobre el análisis de los errores presentes en lassoluciones numéricas de ecuaciones diferenciales. Se describen las principales fuentes de los errores y se discute sobre la consistencia de las aproximaciones en diferencias y la convergencia, estabilidad y precisión de las soluciones numéricas

DESCRIPTORES TEMÁTICOS:
Simulación Numérica, modelación matemática, diferencias finitas, errores.

PROLOGO
Este apunte es una continuación del titulado“Introducción a la simulación numérica de problemas hidráulicos” (Informe LHA 064-003-87), en el cual se introdujeron nociones elementales sobre los métodos de simulación numérica. Aquí se desarrolla un tópico fundamental del análisis numérico: la estimación y control de los errores en los resultados del proceso de cálculo. En particular se estudia este tema en relación a la resolución numérica deecuaciones diferenciales. El profesional que trabaja en simulación numérica tiene una percepción dramática de este problema cuando se topa con casos de inestabilidad numérica que se manifiestan “explosivamente”, produciendo resultados intermedios o finales que superan el rango de punto flotante de la computadora. Sin embargo, esas inestabilidades no siempre se hacen evidentes: a veces, es necesariodesentrañarlas. En rigor, lo que debe comprenderse es que un resultado no es un valor (o una serie de valores) sino un intervalo que hay que estimar y controlar. En el apunte se tratan de exponer las nociones fundamentales para lograr ese cometido.

Ezeiza, mayo de 1988

Errores en la solución numérica de ecuaciones diferenciales

ÍNDICE

1

ERRORES EN EL CALCULO NUMERICO.................................................. 6 1.1 1.2 1.3 1.4 Tipos de Errores ........................................................................................ 6 Propagación de errores inherentes y de redondeo...................................... 7 Estimación de los errores de truncamiento ................................................ 8 Estabilidad de algorimtos........................................................................ 10

2

CONSISTENCIA DE UNA APROXIMACIÓN EN DIFERENCIAS ........... 12 2.1 2.2 2.3 Error de discretización ............................................................................. 12 Definición de consistencia ........................................................................ 18 Orden de precisión de un esquema numérico.......................................... 19

3

CONVERGENCIA DE UNA SOLUCIÓN NUMÉRICA .............................. 21 3.1 3.2 Definición de convergencia ...................................................................... 21 Análisis de la convergencia ...................................................................... 23

4

ESTABILIDAD DE PROBLEMAS DE VALORES INICIALES ................. 26 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8Definición de estabilidad.......................................................................... 26 Método de von Neumann ........................................................................ 27 Método de acotamiento ........................................................................... 31 Método de Hirt........................................................................................ 34 Estabilidad de esquemas implícitos ......................................................... 36 Estabilidad de sistemas acoplados ........................................................... 38 Aproximación de problemas inestables .................................................... 42 Condiciones suficientes de estabilidad ..................................................... 43

5...