Metodos Numericos

1. Sistema de Ecuaciones lineales

1.1. Métodos Directos
1.) Para comprobar que la matriz A es definida positiva, basta saber si sus valores propios son todos mayores a 0, por lo tantousaremos el comando eig(A) para encontrar los valores propios de la matriz A y min para extraer solamente el más pequeño.
El tamaño que elegimos para A es de n={100,1000,5000} para probar que este esdefinida positiva

n=100:

[pic]


n=1000:
[pic]
n=5000:

[pic]

Como podemos observar, el valor mínimo de los valores propios no disminuye de 2 para valores grandesde N, por lo cual la matriz A es definida positiva para cualquier valor de N.










2.) Prosiguiendo la descomposición de Cholesky consiste en formar nuestra Matriz A (definidapositiva), a través del producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior. Para encontrar la descomposición de Cholesky usamos el método de Matlab chol (si lamatriz no fuera definida positiva, este método no funcionaría), el cual nos da como resultado la matriz triangular superior o [pic]. Así que basta con definir como L a nuestra matriz diagonal inferior(que es la traspuesta de [pic]) y con esto obtenemos la descomposición de Cholesky. Para matrices tridiagonales creamos una función llamada CholTrid, el cual recibe como argumento el vector diagonal yel vector diagonal inferior o superior (Ya que son los mismos) y genera la matriz L.
Al comparar el método propio de Matlab con el nuestro, obtenemos (en los 3 casos n = {10, 20,50}) quela diferencia es 0, por lo cual la norma también es 0.

Ahora para resolver el sistema debemos resolver el sistema [pic]

[pic]

Para esto como definimos como L a nuestra matriztriangular inferior y a [pic] a nuestra matriz triangular superior.
Usaremos la función Mcholesky que recibe como parámetros la diagonal principal (D), la diagonal inferior (C) y el vector B (B)....