Metodos Numericos

Descomposición de Lu

PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU
1. Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U.
2. Resolver Ly= b (para encontrar y).
3. El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre "y".
4. Realizar Ux = y (para encontrar x).
5. El resultado del paso anterior se almacena en unamatriz nueva llamada "x", la cual brinda los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.
EJEMPLO 1 DE DESCOMPOSICIÓN LU
PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguientesistema de ecuaciones:

NOTA: Recuérdese que si la matriz es 2x2 se hará 1 iteración; si es 3x3, 2 iteraciones; si es 4x4, 3 iteraciones; y así sucesivamente.
SOLUCIÓN:

4
- 2
- 1


9
[A] =5
1
- 1

[B] =
7

1
2
- 4


12


ITERACIÓN 1
factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25
factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25
Encontrando [U]
fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila2)
fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)
a11 = a11
a12 = a12
a13 = a13
a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0
a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5
a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25
a31 = -(0.25) * (4) + (1) = 0
a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5
a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75

4
- 2
- 1
[U] =
0
3.5
0.25

0
2.5
- 0.75
Encontrando [L]

1
0
0
[L] =
1.25
0
00.25
0
0






ITERACIÓN 2
factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 = 0.7142857143
Encontrando [U]
fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)
a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0
a32 = - (2.5/ 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0
a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = - 0.9285714286

4
- 2
- 1
[U] =
0
3.5
0.25

0
0
- 0.9285714286
Encontrando [L]

1
0
0
[L] =
1.25
1
0

0.250.7142857143
1
Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver
Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente...