Metodos Numericos

Método explicito

MÉTODO DE EULER EXPLÍCITO PARA LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Algunos ejemplos ilustrativos de aplicación del método
de Euler
2.3.1. Primer ejemplo: aplicación a un problema regido por una única ecuación de variables separadas.
Con el objeto de poder comparar la solución aproximada con la solución exacta comencemos considerando un problema de valor inicialsencillo: regido por una EDO de variables separadas. Ello nos permitirá ilustrar la práctica del método y realizar algunas primeras consideraciones.
Considérese el P.V.I. formulado por:

yt=2*t+ et , t ϵ [0 , 1]y0=0

La solución analítica de este P.V.I. esta dada por:

yt= -1+t2+ et

y con ella podremos comparar el comportamiento de los métodos planteados. Resolvamos el problema por el métodode Euler explicito determinando los valores de la solución aproximada en los instantes t0 = 0; 0; t1= 0;1, t2= 0;2; t= 0;4;...., t9=0;9; y t10= 1, siendo la longitud del paso de integración en todas las etapas de calculó h = 0;1: Con ello el esquema de calculó, según vimos anteriormente puede resumirse en:

y0=0

yn+1= yn+ 0.1*2*tn+etn (n=0 , 1 , 2…..9 )

Por tanto los primeros valorescalculados serán:

y0=0

y1= y0+0.1*2*t0+et0= 0+0.1*2*0+ e0=0.1

y2= y1+0.1*2*t1+et1= 0.1+0.1*2*0.1+ e0.1=0.23052

y3=y2+0.1*2*t2+et2=0.23052+0.1*2*0.2+ e0.2=0.39265

y4= y3+0.1*2*t3+et3=

0.39265+0.1*2*0.39265+ e0.3=0.58764

Con el mismo paso y para los mismos instantes de calculó puede obtenerse la solución mediante el método de Euler implícito:

y0=0

yn+1= yn+0.1*2*tn+1+etn+1 (n=0 , 1 , 2…..9)

Obteniéndose:

y0=0

y1= y0+0.1*2*t1+et1= 0+0.1*2*0.1+ e0.1=0.13052

y2= y1+0.1*2*t2+et2= 0.13052+0.1*2*0.2+ e0.2=0.29266

y3=y2+0.1*2*t3+et3=0.29266+0.1*2*0.3+ e0.3=0.48764

y4= y3+0.1*2*t4+et4=

0.48764+0.1*2*0.4+ e0.4=0.65182

valores que son sensiblemente mayores que los obtenidos por el método explicito.

Estos valores son intermedios entre losobtenidos por los métodos anteriores. En este caso es sencillo verificar cuales son los valores más precisos pues la solución analítica es conocida. Podemos representar los valores obtenidos junto a la solución exacta obteniendo:
Puede observarse en la figura anterior mientras que el de Euler explicito aproxima la solución “por defecto" en tanto que el implícito lo hace “por exceso". Pero tambiénpuede apreciarse que los errores van creciendo a medida que avanza el instante de cálculo. Ello ya nos indica que no sólo deberemos intentar conocer el error que se comete al predecir con un método la solución aproximada yn+1 partiendo del valor exacto en el instante anterior y(t) sino que deberá también prestarse atención a como los errores cometidos en una etapa influyen en el error de lassiguientes. Al fin y al cabo, cuando obtenemos yn+1 no partimos de y(tn) sino de yn y, en general yn ≠ y(tn).
Segundo ejemplo: un problema modelo típico que nos introduce en los límites de estabilidad de los esquemas.
Un problema de valor inicial frecuentemente utilizado para testear los esquemas numéricos (por razones que más adelante se explicaran) es el siguiente:

yt= -k*yt , t >0 y0=1Donde “k “es una constante positiva.

yt= e-k*t

Obsérvese que la solución analítica es decreciente y siempre positiva, características que será deseable que poseyesen también las soluciones aproximadas que nos generen los esquemas numéricos al aplicarlos a este caso concreto.
La aplicación de los esquemas de Euler explicito, Euler implícito y µ-métodos en general al P.V.I. considerado,suponiendo de momento que la longitud entre los instantes de cálculo es constante, h, se reduce a:

a) Euler explicito:

yn+1= yn+h*-k*yn → yn+1=1-k*h*yn

y por recursión:
yn+1=(1-k*h)n+1*y0

b) Euler implícito:

yn+1= yn+h*-k*yn → yn+1=11+k*h*yn

y por recursión:

yn+1=11+k*hn+1*y0

Examinemos cuando estas soluciones son decrecientes y positivas.
En el primer caso, método...