Metodos numerocps

Práctica 3

0. Métodos numéricos
Una ecuación diferencial describe la relación entre una función cualquiera y el valor de sus derivadas. Para verificar la ecuación deberán cumplirse algunas condiciones. Estudiamos lo que se conoce como "problemas de valor inicial" dónde el comportamiento del sistema puede resumirse como una función derivada del tipo:

Aquí f es una función conocida quedepende de x y de t; x es el estado del sistema y x’ su derivada. Esto es una ecuación diferencial ordinaria o EDO.
Normalmente sabremos algo así...

...es decir el valor del estado para un cierto tiempo, y a partir de aquí el sistema tendrá que ir variando su comportamiento según las fuerzas externas que se le apliquen.
Intentaremos obtener la derivada de una función en distintos intervalosdiscretos ya que no podemos hacerlo de forma continua. Aplicaremos por tanto una solución numérica para resolver este tipo de problemas.
Tenemos una función derivada f que nos evalúa los cambios en el estado del sistema x a lo largo de un intervalo de tiempo. Entonces lo que haremos será incrementar el estado, o sea x, con el valor calculado, obteniendo así el nuevo estado.
Los métodos numéricosevalúan una o más derivadas en un mismo intervalo de tiempo. Esto los hace distintos en cuanto a eficiencia y robustez.
Comentamos dos de ellos que son los que vamos a utilizar en esta práctica.
Método de Euler
Este método es el más simple de todos ellos. Si partimos de una condición inicial como:

entenderemos que un paso de tiempo después tendremos

dónde h es lo que se llama paso.
Enel método de Euler se evalúa un nuevo estado del sistema partiendo de los valores conocidos del estado anterior:

De esta forma sabemos cual es el valor de nuestro sistema un tiempo h después del tiempo anterior to, gracias a conocer el estado anterior xo y la derivada x’ (to).
Este método es altamente inestable y poco eficaz. Con Taylor podemos aproximar una función cualquiera por una serieinfinita de polinomios de orden creciente. Algo así:

La fórmula de Euler proviene del truncamiento de esta fórmula a partir del segundo término con lo cual el error cometido en la aproximación de la función es notable.
Habrá casos donde el error sea despreciable pero en muchos otros no será así.
Existen métodos mucho más robustos, que evalúan 4 o 5 derivadas por iteración, que aún haciendo elcoste computacional de la aplicación más alto, dan unos resultados físicamente casi correctos y visualmente geniales.
Método de Runge-Kutta, de orden 4 (RK4)
Dos matemáticos alemanes, Runge y Kutta, desarrollaron diversos algoritmos para resolver ecuaciones diferenciales eficientemente y manteniendo siempre un error mínimo.
Con uno de sus métodos, el Runge-Kutta de orden 4, se consigue mejorarmucho el método de Euler. De hecho Euler es un Runge-Kutta de orden 2. El problema es que Euler avanza el sistema un intervalo de tiempo h usando la información de la derivada sólo al principio del intervalo. Con el RK4 se evaluan cuatro derivadas distintas, una al principio del intervalo, otra al final y dos en el medio. Después se promedia todo y se obtiene algo que se parece mucho a lo querealmente debiera ser. Nos estamos quedando con más términos de la serie de Taylor y por tanto cometemos menos error al aproximar nuestra función.
En un RK4 hay que evaluar en cada intervalo lo siguiente:


1. PRIMERA PARTE
El objetivo será hacer un programa en MATLAB para simular ecuaciones Diferenciales utilizando el método de Euler. Se implementará mediante una función, de forma que laecuación a resolver quede en un fichero independiente. En primer lugar, crearemos un nuevo directorio para las nuevas funciones, y lo meteremos en el path. A continuación, la función de integración se crea en un fichero euler_rk.m
El sistema de ecuaciones que queremos resolver es:

El contenido del fichero euler_rk.m es el siguiente:
function [T,Y]=euler_rk(fun,y0,Tsim,h)
nmax=ceil(Tsim/h);...