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METODOS DE INTEGRACION NUMERICA

Los métodos de integración numérica nos permiten integrar funciones que están definidas analíticamente o de las que solo conocemos su tabla en un número finito de puntos.
En análisis numérico la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces paradescribir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral multiple) también se utiliza.
El problema básico considerado por la integración numérica escalcular una solución aproximada a la integral definida:

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runga-Kutta pueden ser aplicados al problema reformulado. En esteartículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida.
Razones para la integración numérica
Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzadapueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación, que depende del métodoque se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales.

REGLA DEL TRAPECIO

La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación es de primer grado:

Una línea recta se puederepresentar como:
1

El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de ƒ(×) entre los limites ɑ y b:

El resultado de la integración es:

Que se denomina regla del trapecio.
Obtención de la regla del trapecio
Antes de la integración, la ecuación se puede expresar como:

Agrupando los últimos 2 términos:

La cual puede integrarse entre x= ɑ y x =b para obtener:Este resultado se evalúa para dar:

Ahora como b² ‐ ɑ² = (b ‐ ɑ) (b + ɑ).

Multiplicando y agrupando términos se tiene:

Que es la fórmula para la regla del trapecio.
Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que une ƒ (ɑ) y ƒ (b). Recuerde que la formula para calcular el area de un trapezoide es la altura por elpromedio de las bases. En nuestro caso, el concepto es el mismo, pero el trapezoide esta sobre su lado. Por lo tanto, la integral aproximada se representa como:

Error de la regla del trapecio
Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante. Una estimación al error de truncamiento localpara una sola aplicación de la regla del trapecio es:

Donde ᵹ está en algún lugar en el intervalo de ɑ a b. La ecuación indica que si la función sujeta a integración es lineal, la regla del trapecio será exacta. De otra manera, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con curvatura), puede ocurrir algún error.

Ejemplo

1.Aplicación simple de la regla del...