metodos

M´todos Num´ricos
e
e
Sergio Plaza1
Segundo semestre de 2007. Versi´n Preliminar en Revisi´n
o
o
Si el lector detecta errores, que ciertamente hay muchos,
le agradecere avisarme al e-mail: splaza@lauca.usach.cl

1

Depto. de Matem´tica, Facultad de Ciencias, Universidad de Santiago de Chile, Casilla 307–Correo
a
2. Santiago, Chile. e–mail splaza@lauca.usach.cl, Homepagehttp://lauca2.usach.cl/˜splaza

Contenidos
1 Teor´ de Error
ıa

1

1.1

Representaci´n punto flotante de n´meros
o
u

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Corte y redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.1

Precisi´n de la representaci´n punto flotante . . . . . . . . . . . . . . . .
o
o

5

1.2.2

Unidad deredondeo de un computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Mayor entero positivo representable en forma exacta . . . . . . . . . . . .

6

1.2.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Definici´n y fuentes de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

6

1.3.1

Fuentes de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

7

1.3.2

1.3

P´rdida de d´
e
ıgitos significativos

9

1.3.3

Underflow–overflow

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Propagaci´n de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
o

1.4

Propagaci´n de error en evaluaci´n de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
o
o

1.5

Errores en sumas . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6

Estabilidad en m´todos num´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
e
e

1.7

Inestabilidad num´rica de m´todos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
e
e

1.8

Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9

Ejercicios .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Ecuaciones no Lineales
2.1

M´todo de bisecci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
e
o
2.1.1

2.2

24

An´lisis del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
a

M´todo de Newton
e
2.2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 27

An´lisis del Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
a

2.3

M´todo de Newton multivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
e

2.4

M´todo de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
e
2.4.1

2.5

An´lisis del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 38
a

M´todo de la posici´n falsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
e
o
i

ii

2.6

M´todos iterativos de punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
e

2.7

M´todos iterativos de punto fijo en varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
e
2.7.1

An´lisis de error para m´todos iterativos depunto fijo . . . . . . . . . . . 49
a
e

2.8

Ra´ m´ ltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
ıces u

2.9

Aceleraci´n de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
o

2.10 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.12 Uso de m´todos de integraci´n para obtener f´rmulas iterativas para resolver
e
o
o
ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.13 Otras f´rmulas iterativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
o
3 Sistemas de Ecuaciones Lineales
3.1

96

Normas...