Metodos

ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJO (METODO ABIERTO)




Métodos Abiertos:


Hay un segundo tipo de métodos que aprovechan raíces de ecuaciones, que son los llamados “métodos abiertos”. Estosmétodos tienen características importantes de recalcar, como por ejemplo: sólo requieren un valor inicial o un par, pero que pueden no encerrar la raíz. Tienen un problema, y es que tales métodos puedenser divergentes conforme se realizan iteraciones. Pero si un método abierto se hace converger a la solución, usualmente lo hace con mayor rapidez que los métodos cerrados.




Convergencia parael método de iteración de punto fijo:


Un método es convergente, si la solución aproximada tiende a la solución verdadera. Un método abierto muy simple es el de “punto fijo”. Básicamente,consiste en reordenar los términos de la función de modo que f(x), al igualarla a cero para evaluar las raíces, se haga una transformación para que la variable “x” esté a la izquierda de la formax = g(x) ; xi+1 = g(xi)

Existen dos técnicas en las cuales se pueden obtener x = g(x):
• Despejando la variable x
Por ejemplo, si se tiene que f(x)= 3x2 - 4x + 5, primerose iguala a cero la función y luego se despeja la variable x, de esta forma obtenemos:






• Usando operaciones algebraicas sumando x a ambos lados de la ecuación.
Por ejemplo, si setiene que f(x)= cos (x), se iguala a cero la función y luego se suma la variable x a ambos lados de la ecuación, de la siguiente forma:





Los conceptos de convergencia y divergencia sepueden ilustrar gráficamente. Además se pueden encontrar las raíces de una función de dos formas diferentes. Una de ellas es graficando f(x) y la otra es separando la misma f(x) en f1(x) = x y f2(x) = elotro lado de la ecuación. Se puede observar en la figura 1, que ambos métodos son efectivos.


















Fig. 1: Dos métodos gráficos para determinar la raíz de f(x)=e-x...