Metodos

Es un gran método para matrices simétricas y definidas positivas. Ya que aprovecha muy bien la estructura de la matriz y tiene muy buenas propiedades de estabilidad numérica.
El método delgradiente conjugado es un método iterativo que a partir de un iterante inicial va calculando sucesivos iterantes que se van acercando a la solución exacta del sistema lineal. El iterante k+1 será la solución,si el diferencia entre él y el iterante k es menor que un cierto número prefijado. El método del gradiente conjugado se enfoca como un método de minimización del funcional J, convexo y con un únicomínimo:
, siendo (x, y) el producto interior de x por y.
Así para k=1,..., N-1, se calcula el mínimo del funcional J sobre la variedad lineal
Esto es, sea , construimos base ortogonal derespecto al producto escalar (A�, �).
Realizando una serie de cuentas, el algoritmo nos queda de la siguiente forma:
• a) Inicialización del algoritmo:
Sea el iterante inicial cualquiera, definimos ydefinimos la primera dirección de descenso como
• b) Iteraciones: Para k = 0, . . . , N - 1 se hace la minimización correspondiente, esta equivale a:
Sea , sea el siguiente iterante y sea elsiguiente residuo. Posteriormente, las iteraciones se completan calculando la siguiente dirección de descenso:
y la siguiente dirección de descenso sería,
Se puede probar que las direcciones dedescenso así definidas son conjugadas, es decir, ortogonales 2 a 2 con el producto escalar (A�, �) y que este algoritmo nos va a llevar al mínimo de J y por tanto a la solución del problema. Además losresiduos son ortogonales entre sí.
Además, el algoritmo del gradiente conjugado, así definido converge a lo sumo en N iteraciones a la solución exacta del sistema A�x = b con A simétrica y definidapositiva. Aunque normalmente, lo suele hacer antes.
Por otra parte, podemos ver que este método necesita muy poca memoria para ser realizado, lo que le convierte en un gran método cuando la matriz...