Metodos

2.
Métodos Numéricos Aplicados a
Ecuaciones Diferenciales
2.1 Definición del Problema de Ecuación Diferencial
Una ecuación diferencial (ordinaria) es aquella que involucra una variable independiente, una variable
dependiente y la derivada (ó derivadas) de esta última. En una ecuación diferencial, la incógnita es la variable
dependiente y se espera encontrarla como función de la variableindependiente, de tal forma que si se
sustituye dicha variable dependiente, así como las derivadas que aparecen en la ecuación diferencial, la
igualdad que resulta es verdadera.
Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias
naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones
desconocidas con respectoa una ó varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más
sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más
complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas.
Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos,
alponerse en términos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones están
acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial.
Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el
problema de valor inicial. Por lo general, la solución exacta de un problema devalor inicial es imposible ó
difícil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas
soluciones
La forma más general de una de ecuación diferencial sobre derivadas ordinarias es:
y (n ) =

(

dny
= F t , y, y´, y´´,K , y (n −1)
n
dt

)

(1)

El problema anterior es una ecuación diferencial ordinaria de orden “n”1, y la cual se supone la presenciade condiciones iniciales, en igual número, que el orden de la ecuación; en lo cual se dice que se trata de un
problema de ecuación diferencial a condiciones iniciales o condiciones de contorno. La solución de este
problema, que puede ser emprendido por variados métodos, persigue determinar el valor de la función y(x),
que dio origen a la ecuación diferencial.
El tipo más simple de ecuacióndiferencial ordinaria es la lineal de primer orden, el Problema de Cauchy
de la forma:
1

Se llama ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.) a una ecuación que liga la variable independiente t, una función y = y(t) (que
depende solo de la variable independiente) y sus respectivas derivadas y´ , y´´, ... ,y (n) . Es decir, una expresión de la forma:
F(t, y, y´, y´´,..., y(n))= 0
A la función y = y(t) se lellama función incógnita. http://www.satd.uma.es/matap/jlgalan/analvect/tema5.pdf.

Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento.

Capítulo 2-4

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Métodos Numéricos Aplicados a la Estabilidad en Sistemas de Potencia

℘≡

dy (t )
⎧
= F (t , y )
⎪ y´(t ) =
dt
⎨
⎪ y (t = t0 ) = y0
⎩

Solo para ser empleado con objetivo deevaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento.

Se supone que la solución del problema de la ecuación diferencial ordinaria, a condiciones iniciales, es
única, continua y diferenciable en una región finita:
a≤t ≤b

(2)

De igual forma, la función F(t,y) es definida y continua en este mismo intervalo (t∈[a,b]), y que cumple
con el Teorema de Lipschitz2.
Paraatacar el Problema de Cauchy,℘; existe gran cantidad de métodos. Los métodos numéricos cobran
vigencia en la resolución de ecuaciones diferenciales cuya solución no pueden ser obtenidas por los métodos
tradicionales; de ahí la necesidad de implementar métodos aproximantes para la solución de ecuaciones
diferenciales. Los métodos de aproximación de mayor uso son: el Método de Euler, Método de...