Mexico

CAPÍTULO

3
Aplicaciones de primer orden

3.3 Crecimiento de poblaciones
En esta sección veremos dos modelos de ED que sirven para representar la forma en que evoluciona el número P .t/ de habitantes de una determinada población conforme pasa el tiempo t 0. Es evidente que dicho número P .t/ varía con el tiempo, pues en todas las poblaciones se cumple el ciclo biológiconacimiento-crecimiento-reproducción-muerte, sin importar la especie que observemos (pueden ser bacterias, hongos, conejos, animales en peligro de extinción, poblaciones humanas de lugares de todo el mundo...). Lo que más afecta a P .t/ son los nacimientos y las muertes, aunque otros fenómenos como la migración (que no consideraremos aquí) también lo afectan. Vale la pena aclarar que P .t/ es un número entero, puesrepresenta la cantidad de habitantes (que denominamos población), pero en los casos que estudiaremos a continuación se considera como una función real de variable real, ya que sólo así podemos hacer un modelo con ED.

3.3.1

Modelo de Malthus

Fue al parecer Euler quien desarrolló los primeros modelos de población, pero comúnmente se atribuye a Malthus 2 el desarrollo y análisis del primermodelo de evolución de P .t/, según el cual P 0 .t/ D kP .t/: (3.1)

Es decir, en cada instante la rapidez de cambio de la población es proporcional al total de la población presente. Por ejemplo, si P .t/ > 0 y P .t/ creciente, esto implica que k > 0. Resolvemos la ecuación diferencial (3.1): dP dP D kP ) D k dt : dt P
1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010 2. Thomas Malthus .1776 1834/ fue uneconomista inglés, considerado el fundador de la demografía. Es muy famoso por su publicación Ensayo sobre el principio de la población .1798/ en la cual concluía que la población humana crece de manera exponencial, mientras que la producción total de alimentos crece en forma lineal, pronosticando un futuro sombrío para la población. Afortunadamente su predicción no se ha cumplido. Sus ideas tuvieronalguna influencia en la teoría de la evolución de Darwin.

1

2 Integrando se tiene: dP D P

Ecuaciones diferenciales ordinarias

k dt ) ln P D kt C C1 ) P D e k t CC1 D e k t e C1 D e k t C ) ) P .t/ D Ce k t :

Ésta es la solución general de la ecuación diferencial (3.1). Es común conocer la población inicial, P .0/ D P0 . Con esto podemos calcular la constante C : P .0/ D P0 D Ce k 0 D C) C D P0 ) ) P .t/ D P0 e k t : Para calcular k es necesario conocer la cantidad de población existente en un tiempo t1 > t0 , digamos P .t1 / D P1 : Â Ã P1 P1 k t1 k t1 P .t1 / D P1 D P0 e ) De ) ln D kt1 ) P0 P0 ln P1 ln P0 )k D : t1 Observaciones: 1. Si td es el tiempo en el que la población se duplica, P .td / D 2P0 ; entonces tenemos, de acuerdo con la ecuación previa: P .td / D 2& D & e k td) 2 D e k td ) ln 2 D ktd : P0 P0 & & Y ahora: kD ln 2 td & td D ln 2 : k (3.2)

Lo anterior indica que el tiempo para que una población se duplique no depende de la cantidad inicial de la misma. 2. Si se proporcionan P .t1 / D P1 & P .t2 / D P2 para dos tiempos t1 < t2 , obtenemos los siguientes resultados: P .t1 / D P1 D Ce k t1 ; P .t2 / D P2 D Ce k t2 : Para resolver este sistema de dosecuaciones con dos incognitas, C y k, dividimos la segunda ecuación entre la primera y obtenemos: P2 Ce k t2 e k t2 D D k t D e k.t2 t1 / : P1 Ce k t1 e 1 Entonces: Â Ã P2 ln D k.t2 t1 /: P1 De donde: kD Tenemos también, usando (3.3) que C D P1 e ln P2 t2
k t1

(3.3)

ln P1 : t1

(3.4)

. Como P .t/ D Ce k t :
t1 /

P .t/ D P1 e k.t con k dado por (3.4).

I

3.3 Crecimiento depoblaciones 3. Hemos mencionado que la derivada

3

dP es la rapidez de cambio de la población P .t/. A esta derivada dt también se le denomina tasa de cambio de la población. De aquí surge una expresión frecuentemente usada en los problemas de población: tasa de crecimiento. La tasa de crecimiento de una población en cierto tiempo t se define como la razón P 0 .t/ y se da P .t/ comúnmente en...