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CAPITULO 3

SUCESIONES DE NUMEROS REALES
1.- Limite de una sucesión:

Una sucesión de números reales es una función que asocia a cada número natural un número real , llamado n-ésimotérmino de la sucesión.

Se escribe ( ) o , o simplemente , para indicar la sucesión cuyo n-esimo termino es

Sea ( una sucesión:

I) Se dice que ( es acotada superiormente
II) Se dice que ( esacotada inferiormente
III) Se dice que ( es acotada

Ejemplo:

1.- Si a>1  la sucesión esta acotada inferiormente pero no superiormente.
Solución:


Luego esta acotadainferiormente por a. Por otra parte tenemos
Por la desigualdad de Bernoulli:
Por tanto, cualquier podemos hacer , siempre que tomemos


Definición:

Se dice que a es el limite de una sucesión (
Porotro lado es conveniente recordar que es lo mismo que

Ejemplo :

Se cumple que el
En efecto, dado arbitrario. Sea
, osea,
Definición:

Sea ( una sucesión:
I) Se dice que ( esconvergente
II) Se dice que ( es divergente

TEOREMA 1: (UNICIDAD DEL LIMITE)
Una sucesión no puede converger a dos límites diferentes.

Demostración:


Sea
Como
Sea



TEOREMA 2 :Demostración:






TEOREMA 3:
Toda sucesión convergente está acotada.

Demostración:

Sea (,


Tomando extremos:

Es decir;
Sea



DEFINICION:
Sea ( una sucesión:1.- Se Dice que ( es no - decreciente
2.- Se Dice que ( es creciente
3.- Se Dice que ( es no - creciente
4.- Se Dice que ( es decreciente
5.- Las sucesiones crecientes, decrecientes, nocrecientes o no decrecientes, son llamadas sucesiones monótonas.

TEOREMA 4:
Toda sucesión monótona y acotada es convergente.

Demostración:

Sea ( monótona, supongamos que es creciente y acotada.Escribimos
Afirmamos que
En efecto, dado no es cota superior de x.
Luego,
Asi


EJEMPLO
a).-
Solucion:
Tenemos que
Luego:










b).-
Solución:
Tenemos que...