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GEOMETRIA ANALITICA

Luis Zegarra.

Sistema Unidimensional 153

Introducci´n o
La geometr´ anal´ ıa ıtica es el estudio de la geometr´ mediante un sistema de ıa coordenadas que lleva asociada un ´lgebra. a Dos problemas fundamentales: 1. Dada una ecuaci´n dependiente de las variables x e y, dibujar su o gr´fica es decir representarla geom´tricamente como un conjunto de a e puntos en elplano. 2. Dado un conjunto de puntos en el plano, relacionados por ciertas condiciones geom´tricas, determinar una ecuaci´n cuya representaci´n e o o gr´fica corresponda enteramente aquellos puntos. Este problema es a conocido con el nombre de Lugar Geom´trico. e

Cap´ ıtulo 6 Sistema Unidimensional
6.1. Sistema coordenado lineal

Sobre una recta fijamos un punto O, al cual se acostumbra a llamarorigen, un sentido (de los dos que tiene esta recta) lo designaremos como positivo y el otro como negativo y sobre el definimos un segmento unidad, asi diremos que dicha recta esta metrizada (o que en ella podemos medir distancias)

Definici´n. o Se llama abscisa, de un punto P de una recta metrizada a la medida del segmento OP , tomando OA como unidad. Dicha medida, la consideraremos positivacuando el sentido es acorde con el positivo y negativa en caso contrario. Notaci´n o A la abscisa de un punto P lo denotaremos por ”p” o bien ”xp ”.

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Nota Admitiremos que se cumple la siguiente propiedad fundamental llamado postulado de Dedekind. Existe una correspondencia biun´ ıvoca entre los puntos de una recta metrizada y el conjunto delos n´meros reales. u

6.2.

Relaci´n Fundamental - Distancia o

Definici´n. o Un segmento AB, se considera positivo cuando el sentido de A hacia B es acorde con el sentido positivo de la recta dirigida y negativo en caso contrario, as´ ı: AB = −BA Definici´n. o La suma de varios segmentos orientados consecutivos (es decir, tales que el origen de cada uno coincide con el extremo del anterior,excepto para el primero, que no tiene anterior), es el segmento orientado que tiene por origen el del primero y por extremo el del ultimo, as´ ´ ı: AB + BC + CD = AD Una consecuencia inmediata de esta definici´n es que: La suma de varios o segmentos orientados y consecutivos, tales como el origen del primero se confunda con el extremo del ultimo, es nula, ´ AB + BC + CA = 0 pues un segmento que tengasu origen y extremos coincidentes AA, tiene longitud nula. ¨ A esta ultima relaci´n se conoce como la relaci´n fundamental de MOBIOS ´ o o - CHASLES. Una consecuencia directa de la relaic´n de CHASLES, es: o Sea el punto A coincidente con el origen O(0) de las abscisas, se tiene entonces

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OB + BC + CO = 0 =⇒ BC = −CO − OB pero − CO = OC asi BC =OC − OB, ahora si representamos las abscisas de B y C sobre la recta orientada por b y c respect´ ıvamente tenemos, se tiene que BC = c − b Relaci´n importante en la geometr´ anal´ o ıa ıtica unidimensional, ya que expresa: La longitud de un segmento orientado, contenido en una recta metrizada es igual a la abscisa de su extremo (C) menos la abscisa de su origen (B).

Note que hemos dejado impl´ıcito en la notaci´n: ”B(b)” la abscisa del punto o B es b.

6.3.

Distancia
dAB = |AB| = |b − a|

Dados los puntos A(a) y B(b), entonces

Notemos que dAB ≥ 0, dAB = 0 ⇐⇒ A = B dAB = dBA pues: dAB = |b − a| = | − (a − b)| = |a − b| = dBA .

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6.4.

Divisi´n de un segmento en una raz´n o o dada
tales que AP m = = λ entonces p = PB nDados los puntos: A(a) y B(b) a + λb na + mb o bien p = n+m 1+λ Demostraci´n. o

AP m p−a m = ⇐⇒ = ⇐⇒ np − na = mb − mp PB n b−p n ⇐⇒ (m + n)p = na + mb ⇐⇒ p = Note que si: λ = 1 =⇒ p = na + mb n+m

a+b abscisa del punto medio del segmento AB 2 λ > 0 =⇒ puntos interiores del segmento AB

λ < 0 =⇒ puntos exteriores al segmento AB.

6.5.

Ejercicios Resueltos
AB 1 = si A(−2) y B(7) BP 4...