Modelacion Estatica

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“”Notas de clase incompletas del curso ME, Prof. A. Pecha. Solo para su uso
personal”” — 2012/8/6 — 16:05 — page 63 — #1

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Cap´
ıtulo 3

Matrices, determinantes y
sistemas de ecuaciones
lineales
3.1.

Matrices

Una econom´ imaginaria con tres industrias que interact´an como productoıa
u
ras de bienes finales y de insumos se muestra en la siguiente tabla

Industrias
I1I2
I3

I1
100
50
200

I2
200
100
300

I3
50
300
500

Demanda final
650
1050
1000

Total
1000
1500
2000

La primera fila de esta tabla dice que 100 unidades de producci´n de la induso
tria 1 se usan como insumo de producci´n por ella misma, 200 por la industria
o
2, 50 por la industria 3 y que 650 unidades se venden a los consumidores finales, de la misma forma seinterpretan las otras filas de la tabla. Si se supone que
la tecnolog´ de producci´n de los bienes no cambia (no hay alteraci´n de los
ıa
o
o
procesos productivos), un aumento o disminuci´n en los totales de producci´n
o
o
implica aumento o disminuci´n en las cantidades demandadas como insumos;
o
si hay un cambio en las cantidades demandadas por los consumidores finales
esto implica unavariaci´n en los totales de producci´n que a su vez conlleva
o
o
una alteraci´n en las cantidades de insumos demandadas por los productores.
o
En este problema, como en muchos otros, las matrices simplifican la soluci´n.
o
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CAP´ITULO 3. MATRICES Y DETERMINANTES

Una matriz es un arreglo rectangular

a11 a12
 a21 a22
A=
 ...
...
an1 an2


... a1m
... a2m 

... ... 
... anm

(3.1)

de n´meros reales, esto es, aij es un n´mero real para cada i = 1, 2, ..., n y
u
u
j = 1, 2, ..., m. Comunmente se usan may´sculas para nombrarlas y a aij se le
u
conoce como elemento ij o entrada ij de lamatriz A. La notaci´n
o
A = (aij )n×m ∈ M (n × m),
que abrevia la definici´n (3.1), significa que A es una matriz con n filas y m
o
columnas y contiene a aij en la i-´sima fila y j -´sima columna.
e
e
As´
ı



2 −5
 9 10
A=
−3 4
−1 −8


0
1

3
2

es una matriz de tama˜o 4 × 3, 10 es la entrada 22 (a22 ), 1 es la entrada (a23 ),
n
etc. En este contexto a las matrices detama˜o 1 × n y n × 1 se les denomina
n
n-vector fila y n-vector columna respectivamente, y a los n´meros reales,
u
escalares.
Una matriz es cuadrada si tiene el mismo n´mero de filas y de columnas. En
u
matrices cuadradas se puede hablar de la diagonal principal formada por
los elementos con sub´
ındices iguales
Diag(A) = (a11 , a22 , . . . , ann ).
Una matriz cuadrada con elementosiguales a cero fuera de la diagonal, es
llamada diagonal, aij = 0 para i = j ; es triangular superior si sus entradas
bajo la diagonal son ceros, aij = 0 para i > j , y es triangular inferior si sus
entradas encima de la diagonal son ceros, aij = 0 para i < j .
Las matrices,


100
A = 0 0 0 ,
001



100
B = 2 0 0
231



y


209
C = 0 −1 5
009

son respectivamentediagonal (todas las entradas de fuera de la diagonal son
cero), triangular inferior y triangular superior. En particular las matrices diagonales son triangulares superiores e inferiores al mismo tiempo.
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3.2. ALGEBRA DE MATRICES

3.2.

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Algebra de matrices

La condici´n para que las operaciones suma y multiplicaci´n entre matrices
o
o
est´n definidas es que las matrices tengan cierta forma adecuada para opee
rarlas, esta condici´n se llama conformabilidad para la operaci´n, sin esta
o
o
condici´n la operaci´n no est´ definida. Puesto que las definiciones se hacen
o
o
a
sobre las entradas de las matrices se...