Modelado Matem Tico En Ingenier A

MODELADO
MATEMÁTICO EN
INGENIERÍA
 2     t
 2 v  v gv   t v

gv  0

1

Francisco J. Valdés-Parada
iqfvp@hotmail.com

PLAN DE LA PRESENTACIÓN


Antecedentes personales



Generalidades sobre el modelado
matemático



Aplicación al flujo en capilares



El resto de la historia
2

ANTECEDENTES PERSONALES


Bachillerato:
Matemáticas
 Química
 Física


Ingeniería
QuímicaPreguntas que debí haberme
hecho:

¿Qué hace el ingeniero químico?
¿Podré hacer eso?, ¿Me gustará?
3

DURANTE LOS PRIMEROS 4
SEMESTRES…
1.
2.
3.
4.

Matemáticas, Física y Química.
¡Voy a ser
Más de lo anterior
un muy
Más de lo anterior
buen
¿Balances de Materia y Energía ?químico que

además
¡ Al parecer ya debería saber qué
hace
un Ingeniero Químico !sabe algo
de
matemática
Todo se reduce a unaecuación:
s!
E – S – Consumo + Producción =
Acumulación

4

Y DE PRONTO TODO CAMBIÓ…
(QUINTO SEMESTRE)


El modelado matemático es una parte
fundamental de la ingeniería.



Las matemáticas sirven para resolver las
ecuaciones que planteamos.



La física y la química ayudan en el
planteamiento y comprobación del modelo.



¡ No me equivoqué de carrera !
5

EL RESTO DE LA CARRERA…


Operacionesunitarias



Diseño de reactores



Optimización y control de procesos

Fenómenos
de transporte
Termodinámica



Diseño de plantas químicas

6

SOBRE EL MODELADO MATEMÁTICO


Un Modelo es una abstracción de la realidad que
se hace para interpretarla. Ejemplos: lenguaje,
escritura, artes, matemáticas, etc.



Los modelos son inevitables en el quehacer
humano.



Un modelo matemático es unarepresentación de
un sistema a partir de relaciones matemáticas.



Los modelos matemáticos son inevitables en el
quehacer del ingeniero.

7

ELEMENTOS DE UN MODELO
MATEMÁTICO
Sistema

Modelo
matemático

(- - - - -) Suposiciones y restricciones
8

VEAMOS UN EJEMPLO

II. Escala promedio

L

2a
III. Microescala
9

I. Macroescala

DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DEL
FENÓMENO


Ecuación de transporte demasa en la
microescala

c A
{t

  gN A
{

acumulación

entradas  salidas

Concentración molar de la especie A



Flux molar de A

A su vez…

N A  c A v  D A c A
{
123
convección

difusión

10

SUPOSICIONES
La velocidad del fluido alcanza el estado
estacionario
mucho
antes
que
la
concentración.
 El perfil de concentración es simétrico en la
dirección angular.


  2c A 1   c A 
cA
c A
 vz
 DA 

 r 
2
z
r r  r  
Entonces… t
 z
Sabemos de mecánica de fluidos que:



vz  2 vz  1  





r

a



2





11

¿QUÉ HEMOS HECHO HASTA AHORA?
Plantear una ecuación de balance de masa
 Establecer
una
relación
entre
la
concentración y el flux.
 Proponer suposiciones razonables en base a
la física del sistema.


¿Necesitamos toda la información que nosda
la solución de la ecuación microscópica?
R. Sólo cierta información.
12

PROMEDIADO Y ESCALAMIENTO


El promedio en área se define como

cA


2
 2
a



a

0

c A rdr

Aplicando este operador a la ecuación de
balance en la microescala

  2 cA
 cA
c A
1   c A 
 vz
 DA 

 r 
2
t
z
r r  r  
 z

13

2

 cA

cA
c A
1   c A 
 vz
 DA 

 r 
2
t
z
r r r  
 z

1   c A
2
 r   2
r r  r 
a



a

0

 c A
1 
 r  rdr
r  r
 r
r a

2  c A
 2 r 
a  r  r 0

Sin embargo, las condiciones de frontera en la
dirección radial son:

r  0 ,a,

c A
0
r
14

 cA
 2 cA
c A
 vz
 DA
t
z
z 2

Sabemos de estadística que cualquier
distribución finita de información puede
expresarse como la suma de su promedio ydesviaciones
c A  c A  c%
vz  vz  v%
A
z

 cA
 cA
 c%
c A
c%
A
A
%
vz
 vz
 v%

v

v
z
z
z
z
z
z
z
z
0

0

15

 cA
 cA
 2 cA
c%
A
%
 vz
 DA

v
z
2

t

z

z
z3
{
1 4 2 43 1 4 2 43 14 24
acumulación
convección

2a

difusión

dispersión

  2 c A 1   c A 
c A
 vz
 DA 

 r 
2
z
z
r r  r  

123
1 4 4 4 4 2 4 4 4 43
acumulación
convección
c A
{t

difusión...