Modelado Matematico

MODELADO MATEMÁTICO
de los Sistemas Mecánicos, Electricos
y Electromecánicos
Alex S. Poznyak

2 de mayo de 2005

ii

Índice general
Prefacio

XIII

Notación

XVII

Introducción

XXI

1. Cinemática de un Punto
1.1. Productos de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Producto vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Los triples productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Diferentes coordenadas posibles . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Relación de coordenadas generalizadas con cartesianas
1.2.4. Coeficientes de Lamé. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Cinemática en Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . .
1.3.1. Velocidad en coordenadas generalizadas . . . . . . . . .
1.3.2. Aceleración en coordenadas generalizadas . . . . . . . .
1.4. Ejemplos y Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Aceleraciones Normal y Tangencial . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Cinemática del Cuerpo Rígido
2.1. Velocidad Angular . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Movimientos Complejos para el Cuerpo Rígido
2.3. Movimiento Complejo para un Punto . . . . .
2.4. Ejemplos y Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Cinemática de Rotación de un Cuerpo Rígido
2.5.1. Rotaciones finitas . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Matriz deRotación . . . . . . . . . . .

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33
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60
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iii

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iv

ÍNDICE GENERAL
2.5.3. Composición de Rotaciones . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4. Rotaciones y CuaternionesReales . . . . . . . . . . . .

3. Dinámica
3.1. Tres Conceptos Fundamentales
3.2. Axiomas o Leyes de Newton . .
3.3. Trabajo y Fuerzas Potenciales .
3.4. Virial del Sistema . . . . . . . .
3.5. Propiedades del Centro Inercial
3.6. Ejemplos y Ejercicios . . . . . .
3.7. Movimientos con Fricción . . .

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4. Sistemas no Inerciales y de Masa Variable
1254.1. Sistemas no Inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.1.1. Segunda Ley de Newton respecto de un Sistema Relativo 126
4.1.2. Teorema de Resal en un Sistema Relativo . . . . . . . . 128
4.1.3. Energía Cinética y Trabajo en un Sistema Relativo . . 131
4.1.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2. Dinámica de Sistemas con Masa Variable . . . .. . . . . . . . 136
5. Ecuaciones Dinámicas de Euler
5.1. Tensor de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Energía Cinética y Momento del Impulso . . . . . .
5.3. Consideraciones Sobre el Tensor de Inercia . . . . .
5.4. Ejemplos y Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Ecuaciones Dinámicas de Euler . . . . . . . . . . .
5.5.1. Casos Especiales de las Ecuaciones deEuler
6. Ecuaciones Dinámicas de Lagrange
6.1. Conexiones Mecánicas . . . . . . . . . . . . .
6.2. Fuerzas Generalizadas . . . . . . . . . . . . .
6.3. Ecuaciones Dinámicas de Lagrange . . . . . .
6.4. Ecuaciones de Lagrange en Forma de Cauchy .
6.5. Modelos Eléctricos y Electromecánicos . . . .
6.5.1. Algunas Relaciones Físicas . . . . . . .
6.5.2. Tabla de Analogías Electromecánicas ....