Modelo Aleatorizado De Bloques Balanceados

MODELO ALEATORIZADO DE BLOQUES COMPLETOS

Con este modelo se quiere estudiar la influencia de un factor tratamiento (Tα) con I niveles en una variable de interés en presencia de una variable extraña. El factor bloque, Bβ, que tiene J bloques.
El motivo de la denominación de este modelo es: que se agrupan las unidades experimentales en J bloques, en función de Bβ, aleatorizando la forma deasignar los tratamientos dentro de cada bloque y es un diseño completo y equilibrado porque cada tratamiento se utiliza exactamente una vez dentro de cada bloque.
En este modelo, un bloque es un grupo de I unidades experimentales tan parecidas como sea posible con respecto a la variable Bβ, asignándole aleatoriamente cada tratamiento a una unidad de cada bloque.
Suponemos que el número de unidadesexperimentales para cada bloque coincide con el número de tratamientos, esto es, hay una observación para cada cruce de los niveles del factor y del bloque. La variable de respuesta Y puede depender de un primer factor de interés (A) y de la variable bloque (B). El modelo es:
Y_ij=μ+α_i+β_j+ε_ij
Para i=1…a y j=1…,b, siendo:
μ el efecto medio global
αi el efecto incremental sobre la mediacausado por el nivel i del factor A
βj el efecto incremental sobre la media causado por el nivel j del factor B
εij el término

Vamos a suponer que
∑_(i=1)^a▒∝_i =∑_(j=1)^b▒〖β_i=0〗
El problema consiste en comparar las medias de los tratamientos, esto es
H_0=μ_1=μ_2=⋯=μ_a
H_1=μ_i≠μ_j i≠j

Lo cual es equivalente a
H_0=∝_i=0
H_1=∝_j≠0
Se consideran las siguientes hipótesis sobre elmodelo:
-Normalidad: ε_ij sigue una distribución normal. Esto es equivalente a queY_ij sigueuna distribución normal.
— Linealidad:〖E(ε〗_ij)=0. Esto es equivalente a que 〖E(Y〗_ij)=μ+α_i+β_j
— Homocedasticidad:〖Var(ε〗_ij)=σ^2. Esto es equivalente a que〖Var(Y〗_ij)=σ^2.
— Independencia: ε_ijson independientes entre sí. Esto es equivalente a que Y_ijsonindependientes entre sí.

EJEMPLO
Se deseadeterminar si cuatro diferentes marcas de llantas difieren en el desgaste producido por 20,000 millas de uso. Se consideran cuatro tipos de llantas denotadas A,B,C y D . La variable de respuesta es la diferencia
(medida en milímetros) de la dimensión del dibujo de la llanta al ser montada en el coche y después de completar 20,000 millas de recorrido. El único factor de interés es la marca de lallanta. Se decide hacer la prueba en cuatro coches. Para reducir la posible variabilidad en el desgaste debida a la unidad que se utilice, se utilizan los distintos coches como bloques y se denotan como I,II,III y IV. Aleatoriamente se designa la distribución de cada una de las marcas en las llantas del coche y se obtienen los siguientes resultados:


Coches
Distribución
de llantas y
diferenciade
Dimensión del
dibujo I II III IV
B(14) D(11) A(13) C(9)
C(12) C(12) B(13) D(9)
A(17) B(14) D(11) B(8)
D(13) A(14) C(10) A(13)

Tomando los datos de la tabla se pasaron a minitab y los resultados obtenidos fueron:

Diagrama de cajas:

Observando el diagrama se caja se puede tener una aproximación acerca de la variabilidad de cada una de las marcas, se muestra que la marca Btiene una mayor variabilidad y en las C y D tienen un menor desgaste


Graficando encontramos que en la primer grafica (arriba, lado izquierdo) los puntos marcados no se enrollan sobre la recta que pasa por estos, además de la cercanía de los puntos hacia esta recta, se deduce que los residuos parecen seguir una distribución normal, en la gráfica siguiente (arriba, lado derecho) no existe unapresencia de algún cono que se esté formando con nuestros datos por lo tanto se cumple la homocedasticidad de los errores., en el histograma (abajo, lado izquierdo) se puede observar cómo no se tiene muy claro si se forma una campana de gauss esto nos indica que no hay duda sobre la normalidad de los errores, y en la última (abajo, lado derecho) la gráfica no muestra que los errores formen alguna...