MODELO MATEMATICO

Modelos de procesos y
linealización
Prof. María Jesús de la Fuente
Dpt. Ingeniería de Sistemas y Automática
Univ. De Valladolid

ISA, UVA

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Modelos
• Representación aproximada de la realidad
• Abstracción: Incluimos solo aquellos aspectos
y relaciones que son de interés.
• Modelos físicos, cualitativos, cuantitativos,…
• Usos de los modelos: diseño, entrenamiento,
que pasasi…., decisiones,...
• ¿Como generarlos, resolverlos, utilizarlos,
validarlos?
ISA, UVA

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¿Qué es un modelo matemático?
• Conjunto de ecuaciones que relacionan las
variables de interés del proceso y representan
adecuadamente su comportamiento
• Siempre son aproximaciones de la realidad
• Distintos modelos para distintos objetivos y
tipos de procesos
• Compromiso entre facilidad de usoy
exactitud
ISA, UVA

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Representación adecuada
y
Proceso
u

tiempo
ym
tiempo

Modelo
tiempo
ISA, UVA

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Procesos continuos y de eventos
discretos
q

h
Procesos continuos:
Las variables evolucionan
continuamente en el tiempo
y pueden tomar cualquier
valor en un rango dado

Procesos de eventos:
Las variables solo cambian
en instantes discretos
y pueden tomarsolo un
número finito de valores

ISA, UVA

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Procesos Continuos / Eventos
• Procesos Continuos
– Descritos principalmente por DAEs o PDE.
– Interés fundamental: la trayectoria de algunas
variables

• Procesos de eventos discretos
– Descritos principalmente por secuencias de
actividades.
– Interés fundamental: el comportamiento
estadístico de algunas variables.
ISA, UVA

6Modelos estáticos y dinámicos
q = kρ h

q

h

Modelo estático:
Relaciona las variables en un
estado de equilibrio

d h
Aρ
= q − kρ h
d t

Modelo dinámico:
Relaciona las variables a
lo largo del tiempo
ISA, UVA

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Respuesta dinámica
h

q
tiempo

ISA, UVA

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Modelos estáticos y dinámicos
• Modelos estáticos
– Representan situaciones de equilibrio
–Descritos mediante ecuaciones algebraicas
– Orientados a diseño

• Modelos dinámicos en tiempo continuo
– Representan la evolución temporal
– Descritos mediante DAE y PDE
– Uso mas general: control, entrenamiento,...
ISA, UVA

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Modelos para control por
computador
u(kT)
Ordenador
y(kT)

•

y(t)
D/A

Proceso

A/D

modelos en tiempo discreto
deben relacionar las variables deentrada y salida
en los instantes de muestreo kT
Ecuaciones en diferencias y((k+1)T)=f(y(kT),u(kT))
ISA, UVA

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¿Como obtener modelos?

Mediante razonamientos,
usando leyes físicas,
químicas, etc

ISA, UVA

Mediante experimentación
y análisis de datos
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Modelos de conocimiento
• Se obtienen mediante razonamientos y la
aplicación de principios de conservación de
masa,energía, momento, etc. y otras leyes
particulares del dominio de aplicación
• Tienen validez general
• Requieren conocimiento profundo del
proceso y de las leyes fisico-químicas
ISA, UVA

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Identificación
El modelo se obtiene a partir de
datos experimentales de
entrada-salida del proceso
U
U
t

Y

Y

Proceso
t

Modelo
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Modelos de conocimientoMetodología de modelado:
⌦Establecer los límites y objetivos del modelo
⌦Establecer las hipótesis básicas
⌦Escribir las ecuaciones usando leyes de
conservación y del dominio de aplicación
⌦Estimar el valor de los parámetros
⌦Validar el modelo

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Tipos de modelos
•
•
•
•
•
•
•

Parámetros concentrados
Parámetros distribuidos
No-lineales
Lineales
Tiempo
Frecuencia
….ISA, UVA

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Conservación de masa
Acumulación de masa en el sistema por unidad de tiempo =
Masa que entra al sistema por unidad de tiempo Masa que sale del sistema por unidad de tiempo +
Masa que se genera en el sistema por unidad de tiempo Masa que se consume en el sistema por unidad de tiempo
dm
= Fi − F0 + G − C
dt

Fi

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G m C

F0

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Ejemplo: Depósito...