Modelo Matematico


Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos

Modelo matemático.- descripción matemática de un sistema o fenómeno de la vida real.

Proceso de modelado.- El proceso de modelado básicamentesigue los siguientes pasos:

1. Identificación de variables estableciendo una notación matemática.
2. Leyes empíricas que se pueden aplicar.
3. Planteamiento de las ecuaciones.

Fusión
Se considera unaesfera de hielo que se derrite a razón proporcional al área de su superficie. Hallar una expresión para el volumen de la esfera en cualquier unidad de tiempo.

1. Variables:
La incógnita del problema:volumen (es función del tiempo).
Notación matemática: V = V (t)

2. Leyes empíricas que se pueden aplicar:
En los datos: “La esfera se derrite a razón proporcional al área de su superficie”, esdecir, el volumen de la esfera varía a razón proporcional al área de su superficie.

La variación de volumen es la derivada de V con respecto al tiempo:

Expresión de la ley en forma matemática: donde res el radio de la esfera, r = r (t).

3. Planteamiento de la ecuación:
Planteamos la ecuación con la incógnita inicial V :


Sustituyendo:

Ecuación diferencial que proporciona elvolumen en cualquier tiempo t.

Reacciones Químicas
Sea la reacción bimolecular elemental: A + B → P, en la que dos sustancias (reactantes) se unen para formar una tercera (producto). Hallar una expresiónpara las distintas concentraciones en cualquier unidad de tiempo.

1. Variables.
Las incógnitas son las concentraciones de los reactantes y el producto (son funciones del tiempo): [A], [B], [P].

2.Leyes empíricas que se pueden aplicar:
La velocidad de reacción depende de la concentración de los reactantes y quizás del producto:



Para las reacciones elementales, la ley de acción de masas: lavelocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactantes:

Velocidad = k [A] [B]

Por último la ley de conservación: la suma de las concentraciones de los...