Modelos de pruebas

Carnet: Universidad Simón Bolívar Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 2008 Nombre: Sección:

MA-1112 —Tercer Parcial, Martes 8-04-2008. (40 %) —
Justi que todas susrespuestas. Examen Tipo C 1. (10 ptos.)

a) (5 ptos.) Halle la integral

ln(x) √ dx x
ln(x) √ dx. Utilizando el metodo de Integración I = x √ dx dx y v = 2 x. tomando u = ln(x) y dv = √ . Tenemos quedu = x x √ √ √ √ x Asi, I = 2 x ln(x) − 2 dx = 2 x ln(x) − 4 x + K . x
Solucion: Sea por partes y

b) (5 ptos.) Demuestre que

xm sen(x)dx = −xm cos(x) + m
Solucion: m−1 Utilizando integracionpor partes, sea

xm−1 cos(x)dx.
y

u = xm

dv = sen(x)dx,

tenemos que

du = mx

dx y v = − cos(x). Asi, xm sen(x)dx = −xm cos(x) + m xm−1 cos(x)dx.

2. (10 ptos.) Halle la siguienteintegral

x2 − 3x − 7 dx (2x + 3)(x + 1)2
Solucion: Escribimos las fracciones simples asociadas

A B C x2 − 3x − 7 = + + 2 (2x + 3)(x + 1) (2x + 3) (x + 1) (x + 1)2
de aqui,

x2 − 3x − 7 A(x + 1)2+ B(2x + 3)(x + 1) + C(2x + 3) = (2x + 3)(x + 1)2 (2x + 3)(x + 1)2

DPTO. DE MATEMATICAS

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MA-1112
es decir,

x2 − 3x − 7 = A(x + 1)2 + B(2x + 3)(x + 1) + C(2x + 3)
con lo que se tieneA = −1,
Por lo tanto,

B = 1,

C = −3.

x2 − 3x − 7 dx = (2x + 3)(x + 1)2

−1 1 −3 + + dx (2x + 3) (x + 1) (x + 1)2 −dx dx dx = + −3 (2x + 3) (x + 1) (x + 1)2 1 3 = − ln |2x + 3| + ln |x +1| + + C. 2 x+1 √ x3 1 − x2 dx.

3. (10 ptos.) Halle la integral inde nida

Solucion: Considerando la sustitucion trigonometrica tenemos que

x = sen(θ)

con

θ ∈ [−π/2, π/2], dx = cos(θ)dθ,√ x3 1 − x2 dx = = = = =

sen3 (θ) 1 − sen2 (θ) cos(θ)dθ sen3 (θ) cos2 (θ)dθ sen(θ)(1 − cos2 (θ)) cos2 (θ)dθ sen(θ) cos2 (θ)dθ −
− cos3 (θ) 3 √

sen(θ) cos4 (θ)dθ

+

cos5 (θ) 5

+K +K.

= −(
4. (10 ptos.)

1−x2 )3 3

+

√ ( 1−x2 )5 5

a) (5 ptos.) Estudie la convergencia o divergencia de la siguiente integral

+∞ 1

sen2 (4t) dt. t3 [1, +∞) tenemos f (t) = 1/t3 =...